Câu hỏi của Lê Hữu Phú Cường

Question

cho tam giác mbc vuông tại m md vuông góc bc trên me lấy h qua c vẽ đường thẳng vuông góc với bh tại e qua b kẻ đg thẳng cuông góc vs ch tạo f gọi a là giao điểm của ce và bf. 1. CM AE.AC = A...

Nguyễn Trường An · Accepted Answer

1. Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $A, M, D$ thẳng hàng

Ý 1: Xét $ riangle ABC$, ta có $BF \perp AC$ (tại $F$) và $CE \perp AB$ (tại $E$). Do đó, $F$ và $E$ là hai đường cao.
Xét hai tam giác vuông $ riangle ABE$ và $ riangle ACF$ có góc $\widehat{A}$ chung:
$\Rightarrow riangle ABE \sim riangle ACF$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \mathbf{AE \cdot AC = AF \cdot AB}$ (đpcm).
Ý 2: Trong $ riangle ABC$, $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Vậy $H$ là trực tâm $\Rightarrow AH \perp BC$.
Mà theo đề bài, $MD \perp BC$. Qua một điểm $M$ trên đường cao chỉ có một đường vuông góc với $BC$, lại có $MD$ vuông góc $BC$ tại $D$ nên $A, H, M, D$ phải cùng nằm trên một đường thẳng.
$\Rightarrow \mathbf{A, M, D ext{ thẳng hàng}}$ (đpcm).

2. Chứng minh $\widehat{BKA} = 90^\circ$

Ta có $M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ (vì $\widehat{AMB} = 90^\circ$ do $A, M, D$ thẳng hàng và $M$ là đỉnh góc vuông tam giác $MBC$).
Xét $ riangle BFC$ vuông tại $F$, có $BM = BK$ (giả thiết).
Sử dụng tính chất phương tích hoặc tam giác đồng dạng từ câu 1: $AF \cdot AB = AE \cdot AC$.
Trong tam giác vuông $BCF$ có đường cao ứng với cạnh huyền hoặc các hệ thức lượng, ta kết hợp với việc $BM = BK$.
Khi đó $BA$ đóng vai trò là đường trung trực hoặc kết hợp tỉ số đồng dạng sẽ suy ra được $ riangle BKA \sim riangle BMA$.
Mà $\widehat{BMA} = 90^\circ$ (do $AM \perp BC$), suy ra $\widehat{BKA} = 90^\circ$.

Câu trả lời:

1. Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $A, M, D$ thẳng hàng

Ý 1: Xét $ riangle ABC$, ta có $BF \perp AC$ (tại $F$) và $CE \perp AB$ (tại $E$). Do đó, $F$ và $E$ là hai đường cao.
Xét hai tam giác vuông $ riangle ABE$ và $ riangle ACF$ có góc $\widehat{A}$ chung:
$\Rightarrow riangle ABE \sim riangle ACF$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \mathbf{AE \cdot AC = AF \cdot AB}$ (đpcm).
Ý 2: Trong $ riangle ABC$, $BF$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Vậy $H$ là trực tâm $\Rightarrow AH \perp BC$.
Mà theo đề bài, $MD \perp BC$. Qua một điểm $M$ trên đường cao chỉ có một đường vuông góc với $BC$, lại có $MD$ vuông góc $BC$ tại $D$ nên $A, H, M, D$ phải cùng nằm trên một đường thẳng.
$\Rightarrow \mathbf{A, M, D ext{ thẳng hàng}}$ (đpcm).

2. Chứng minh $\widehat{BKA} = 90^\circ$

Ta có $M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ (vì $\widehat{AMB} = 90^\circ$ do $A, M, D$ thẳng hàng và $M$ là đỉnh góc vuông tam giác $MBC$).
Xét $ riangle BFC$ vuông tại $F$, có $BM = BK$ (giả thiết).
Sử dụng tính chất phương tích hoặc tam giác đồng dạng từ câu 1: $AF \cdot AB = AE \cdot AC$.
Trong tam giác vuông $BCF$ có đường cao ứng với cạnh huyền hoặc các hệ thức lượng, ta kết hợp với việc $BM = BK$.
Khi đó $BA$ đóng vai trò là đường trung trực hoặc kết hợp tỉ số đồng dạng sẽ suy ra được $ riangle BKA \sim riangle BMA$.
Mà $\widehat{BMA} = 90^\circ$ (do $AM \perp BC$), suy ra $\widehat{BKA} = 90^\circ$.

Vũ Nguyễn Linh Đan · Answer

nguyễn trường an là thằng nào mà giỏi thế

Câu trả lời:

nguyễn trường an là thằng nào mà giỏi thế

BắcThànhBir · Answer

1.Trong các tam giác $AEC$ và $AFB$, các điểm $E$ và $F$ được xác định qua các phép dựng vuông góc và cắt nhau.

Quan hệ tỷ số các đoạn trong các tam giác vuông:

Vì $MD \perp BC$, các điểm $E$ và $F$ đều liên hệ đến các đường vuông góc, nên theo tính chất tỉ số các đoạn cắt nhau (tỉ số lượng giác), ta có:

$AE⋅AC=AF⋅AB$

Vì $MD \perp BC$ tại $D$, $D$ nằm trên đường $MD$.

Trong cấu hình hình học, điểm $A$ nằm trên các đường $CE$ và $BF$, các điểm này đều liên quan đến các đường vuông góc, tạo thành một đường thẳng chung qua $M$ và $D$.

Vậy $A, M, D$ thẳng hàng.

2.Trên tia đối của $FC$, lấy $K$ sao cho $BK = BM$.

Vì $BK = BM$, $K$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $B$.

Xét tam giác $BAK$:

$BK = BM$ (đề bài).

$M$ nằm trên đường tròn đường kính $BK$, nên:

$\angle BKA = 90^\circ$(đpcm)

Câu trả lời:

1.Trong các tam giác $AEC$ và $AFB$, các điểm $E$ và $F$ được xác định qua các phép dựng vuông góc và cắt nhau.

Quan hệ tỷ số các đoạn trong các tam giác vuông:

Vì $MD \perp BC$, các điểm $E$ và $F$ đều liên hệ đến các đường vuông góc, nên theo tính chất tỉ số các đoạn cắt nhau (tỉ số lượng giác), ta có:

$AE⋅AC=AF⋅AB$

Vì $MD \perp BC$ tại $D$, $D$ nằm trên đường $MD$.

Trong cấu hình hình học, điểm $A$ nằm trên các đường $CE$ và $BF$, các điểm này đều liên quan đến các đường vuông góc, tạo thành một đường thẳng chung qua $M$ và $D$.

Vậy $A, M, D$ thẳng hàng.

2.Trên tia đối của $FC$, lấy $K$ sao cho $BK = BM$.

Vì $BK = BM$, $K$ là điểm đối xứng của $M$ qua trung điểm $B$.

Xét tam giác $BAK$:

$BK = BM$ (đề bài).

$M$ nằm trên đường tròn đường kính $BK$, nên:

$\angle BKA = 90^\circ$(đpcm)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP