Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AM\) (1)
Tam giác SAB vuông cân tại A (do SA=SB=a)
\(\Rightarrow AM\perp SB\) (trung tuyến đồng thời là đường cao) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM\perp SC\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(AN\perp SC\)
\(\Rightarrow SC\perp\left(AMN\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(AMN\right)\)
Từ A kẻ \(AH\perp SC\Rightarrow H\in\left(AMN\right)\)
Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{HAC}\) là góc giữa (AMN) và (ABCD)
\(AC=a\sqrt{2}\) ; \(SC=a\sqrt{3}\)
\(sin\widehat{HAC}=cos\widehat{SCA}=\dfrac{AC}{SC}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow\widehat{HAC}\approx54^044'\)
\(SA=SB=AB\Rightarrow\Delta SAB\) đều
Do SA=SB=SC=SD \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(AB||CD\Rightarrow\left(SA;CD\right)=\left(SA;AB\right)=\widehat{SAB}=60^0\)
b.
\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SO\perp BC\Rightarrow\left(SO;BC\right)=90^0\)
c.
Ta có OM là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow OM||SD\)
\(\Rightarrow\left(SD;CM\right)=\left(OM;CM\right)=\widehat{OMC}\)
\(OM=\dfrac{1}{2}SD=a\) ; \(OC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+AD^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(cos\widehat{SBC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow CM=\sqrt{BM^2+BC^2-2BM.BC.cos\widehat{SBC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(cos\widehat{OMC}=\dfrac{OM^2+CM^2-OC^2}{2OM.CM}=\dfrac{5\sqrt{6}}{24}\)
\(\Rightarrow\widehat{OMC}\simeq59^0\)
a) Tính góc giữa \(AN\) và \(CN\)
- Véc tơ:
\[
\vec{AN} = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right)
\]
\[
\vec{CN} = \left(\frac{a}{2} - a, 0 - a, \frac{h}{2} - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, -a, \frac{h}{2}\right)
\]
- Tích vô hướng:
\[
\vec{AN} \cdot \vec{CN} = \left(\frac{a}{2}\right)\left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \times (-a) + \frac{h}{2} \times \frac{h}{2} = -\frac{a^2}{4} + 0 + \frac{h^2}{4} = \frac{h^2 - a^2}{4}
\]
- Độ dài:
\[
\|\vec{AN}\| = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}
\]
\[
\|\vec{CN}\| = \frac{1}{2} \sqrt{( -\frac{a}{2})^2 + (-a)^2 + (\frac{h}{2})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{4a^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5a^2 + h^2}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5a^2 + h^2}}{2} = \frac{\sqrt{5a^2 + h^2}}{2}
\]
- Góc:
\[
\cos \theta = \frac{\frac{h^2 - a^2}{4}}{\left(\frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}\right)\left(\frac{\sqrt{5a^2 + h^2}}{2}\right)} = \frac{h^2 - a^2}{\sqrt{a^2 + h^2} \times \sqrt{5a^2 + h^2}}
\]
b) Góc giữa \(AN\) và \(SD\)
- Véc tơ:
\[
\vec{SD} = (0 - 0, a - 0, 0 - h) = (0, a, -h)
\]
\[
\vec{AN} = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right)
\]
- Tích vô hướng:
\[
\vec{AN} \cdot \vec{SD} = \frac{a}{2} \times 0 + 0 \times a + \frac{h}{2} \times (-h) = 0 + 0 - \frac{h^2}{2} = -\frac{h^2}{2}
\]
- Độ dài:
\[
\|\vec{SD}\| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-h)^2} = \sqrt{a^2 + h^2}
\]
\[
\|\vec{AN}\| = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2}
\]
- Góc:
\[
\cos \phi = \frac{-\frac{h^2}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{a^2 + h^2} \times \sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{-\frac{h^2}{2}}{\frac{1}{2} (a^2 + h^2)} = \frac{-h^2}{a^2 + h^2}
\]
Vậy góc giữa \(AN\) và \(SD\) là:
\[
\boxed{\cos \phi = -\frac{h^2}{a^2 + h^2}}
\]
và góc \(\phi\) là góc có cosine âm, tức là góc > 90°.