Câu hỏi của Mai Thắng

Question

Mỗi ô vuông đơn vị của bảng hữu hạn mxn(m,n là các số nguyên dương) được ghi một số bất kì.Xét quy tắc biến đổi sau:Mỗi lần đổi dấu tất cả các số trên một hàng hoặc một cột.CMR sau một số hũu...

Hoàng Anh Dũng · Accepted Answer

Để chứng minh tổng các hàng và cột không âm, hãy sử dụng phương pháp đơn biến (monovariant). Gọi là tổng của tất cả các số trên bảng. Sau mỗi lần đổi dấu hàng/cột có tổng âm, tổng tăng lên một lượng dương và bảng hữu hạn nên quy trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước, khi không còn hàng hoặc cột nào có tổng âm. Các bước chứng minh chi tiết:

Thiết lập đại lượng đơn biến: Gọi là tổng tất cả các số trên bảng .
Thực hiện quy tắc: Nếu tồn tại một hàng (hoặc cột) có tổng các số âm, ta thực hiện đổi dấu tất cả các số trên hàng (hoặc cột) đó.
Chứng minh sự tăng của tổng: Giả sử hàng có tổng âm, tức là . Sau khi đổi dấu các số trên hàng này, các số trở thành . Tổng mới của hàng là . Tổng toàn bảng thay đổi thành . Vì nên .
Kết luận: Vì bảng có số ô hữu hạn và mỗi bước làm tăng tổng (với một lượng nguyên nếu các số là số nguyên, hoặc tăng một lượng rời rạc nếu là số thực), tổng không thể tăng mãi. Do đó, quá trình phải dừng lại khi không còn hàng hoặc cột nào có tổng âm.

Sau khi dừng, bảng có tất cả hàng và cột đều có tổng không âm.

Mỗi oo vuông đơn vị của bảng hữu hạn m.n được ghi một số ...8 thg 12, 2017 — Mỗi oo vuông đơn vị của bảng hữu hạn m.n được ghi một số thực bất kì. Xét quy tắc biến đổi sau: Mỗi lần đổi tất cả cá...

Câu trả lời: Để chứng minh tổng các hàng và cột không âm, hãy sử dụng phương pháp đơn biến (monovariant). Gọi là tổng của tất cả các số trên bảng. Sau mỗi lần đổi dấu hàng/cột có tổng âm, tổng tăng lên một lượng dương và bảng hữu hạn nên quy trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn bước, khi không còn hàng hoặc cột nào có tổng âm. Các bước chứng minh chi tiết:

Thiết lập đại lượng đơn biến: Gọi là tổng tất cả các số trên bảng .
Thực hiện quy tắc: Nếu tồn tại một hàng (hoặc cột) có tổng các số âm, ta thực hiện đổi dấu tất cả các số trên hàng (hoặc cột) đó.
Chứng minh sự tăng của tổng: Giả sử hàng có tổng âm, tức là . Sau khi đổi dấu các số trên hàng này, các số trở thành . Tổng mới của hàng là . Tổng toàn bảng thay đổi thành . Vì nên .
Kết luận: Vì bảng có số ô hữu hạn và mỗi bước làm tăng tổng (với một lượng nguyên nếu các số là số nguyên, hoặc tăng một lượng rời rạc nếu là số thực), tổng không thể tăng mãi. Do đó, quá trình phải dừng lại khi không còn hàng hoặc cột nào có tổng âm.

Sau khi dừng, bảng có tất cả hàng và cột đều có tổng không âm.

Mỗi oo vuông đơn vị của bảng hữu hạn m.n được ghi một số ...8 thg 12, 2017 — Mỗi oo vuông đơn vị của bảng hữu hạn m.n được ghi một số thực bất kì. Xét quy tắc biến đổi sau: Mỗi lần đổi tất cả cá...

Nguyễn Thu Quỳnh · Answer

8

Câu trả lời:

8

Mai Phương Thảo · Answer

Để chứng minh bài toán, ta sử dụng phương pháp đơn biến (monovariant): Gọi $S$ là tổng tất cả các số trên bảng. Mỗi lần đổi dấu một hàng hoặc cột có tổng âm, tổng $S$ sẽ tăng lên một lượng dương (bằng $-2 \times \text{tổng hàng/cột đó}$), làm $S$ tăng nhưng không vượt quá một giới hạn, dẫn đến quy trình phải dừng lại khi không còn hàng/cột âm. [1] Lời giải chi tiết:

Định nghĩa đơn biến: Xét tổng các số trên toàn bộ bảng:
$S=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}$
Biến đổi: Giả sử tồn tại một hàng $i_{0}$ (hoặc cột $j_{0}$) có tổng âm, tức là $\sum_{j=1}^{n} a_{i_0j} < 0$. Khi đổi dấu tất cả các số trên hàng này, các số hạng $a_{i_{0}j}$ trở thành $-a_{i_{0}j}$. Tổng mới của hàng là $-\sum_{j=1}^{n} a_{i_0j} > 0$.
Sự gia tăng của S: Tổng $S$ của toàn bảng thay đổi thành:
$S_{new}=S_{old}-2\times (\text{tng\ hàng\ }i_{0})=S_{old}+2\times |\text{tng\ hàng\ }i_{0}|>S_{old}$
Hội tụ: Vì bảng hữu hạn, chỉ có hữu hạn cách đổi dấu, và tổng $S$ tăng sau mỗi bước nhưng bị chặn trên (bởi tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các ô), nên quy trình dừng lại khi không còn hàng hay cột nào có tổng âm. [1]

Kết quả là, tất cả các hàng và cột đều có tổng không âmCâu trả lời: Để chứng minh bài toán, ta sử dụng phương pháp đơn biến (monovariant): Gọi $S$ là tổng tất cả các số trên bảng. Mỗi lần đổi dấu một hàng hoặc cột có tổng âm, tổng $S$ sẽ tăng lên một lượng dương (bằng $-2 \times \text{tổng hàng/cột đó}$), làm $S$ tăng nhưng không vượt quá một giới hạn, dẫn đến quy trình phải dừng lại khi không còn hàng/cột âm. [1] Lời giải chi tiết:

Định nghĩa đơn biến: Xét tổng các số trên toàn bộ bảng:
$S=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}$
Biến đổi: Giả sử tồn tại một hàng $i_{0}$ (hoặc cột $j_{0}$) có tổng âm, tức là $\sum_{j=1}^{n} a_{i_0j} < 0$. Khi đổi dấu tất cả các số trên hàng này, các số hạng $a_{i_{0}j}$ trở thành $-a_{i_{0}j}$. Tổng mới của hàng là $-\sum_{j=1}^{n} a_{i_0j} > 0$.
Sự gia tăng của S: Tổng $S$ của toàn bảng thay đổi thành:
$S_{new}=S_{old}-2\times (\text{tng\ hàng\ }i_{0})=S_{old}+2\times |\text{tng\ hàng\ }i_{0}|>S_{old}$
Hội tụ: Vì bảng hữu hạn, chỉ có hữu hạn cách đổi dấu, và tổng $S$ tăng sau mỗi bước nhưng bị chặn trên (bởi tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các ô), nên quy trình dừng lại khi không còn hàng hay cột nào có tổng âm. [1]

Kết quả là, tất cả các hàng và cột đều có tổng không âm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP