Câu hỏi của Lâm Thuỳ An

Question

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.a/ C/m tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn .B/ C/m AE.AB=AD.AC.C/ gọi M N lần lượt là trung điểm của BC và AH...

Lê Minh Nhật · Accepted Answer

Tổng kết phương pháp giải hình học 9: Chứng minh nội tiếp: Luôn tìm góc 90^\circ hoặc tổng hai góc đối bằng 180^\circ. Chứng minh đẳng thức tích: Luôn đưa về tỉ số để tìm cặp tam giác đồng dạng. Vẽ hình phụ: Với các bài toán có trung điểm như M, N, hãy nghĩ đến đường trung bình hoặc các đường thẳng

vuông góc đi qua tâm đường tròn.

Chúc bạn ôn tập tốt để chuẩn bị cho kỳ thi vào các trường trọng điểm nhé! Nếu có bước nào trong phần c bạn cần khai triển chi tiết hơn bằng con số cụ thể, cứ bảo mình!

Câu trả lời:

Tổng kết phương pháp giải hình học 9: Chứng minh nội tiếp: Luôn tìm góc 90^\circ hoặc tổng hai góc đối bằng 180^\circ. Chứng minh đẳng thức tích: Luôn đưa về tỉ số để tìm cặp tam giác đồng dạng. Vẽ hình phụ: Với các bài toán có trung điểm như M, N, hãy nghĩ đến đường trung bình hoặc các đường thẳng

vuông góc đi qua tâm đường tròn.

Chúc bạn ôn tập tốt để chuẩn bị cho kỳ thi vào các trường trọng điểm nhé! Nếu có bước nào trong phần c bạn cần khai triển chi tiết hơn bằng con số cụ thể, cứ bảo mình!

Mai Phương Thảo · Answer

Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học này kèm theo phần giải thích phương pháp tư duy để bạn dễ dàng nắm bắt kiến thức nhé. Lời giải chi tiết a) Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp Xét tam giác $ABC$ có các đường cao $BD$ và $CE$.

Vì $BD$ là đường cao nên $BD \perp AC \Rightarrow \angle BDC = 90^\circ$.
Vì $CE$ là đường cao nên $CE \perp AB \Rightarrow \angle BEC = 90^\circ$.

Xét tứ giác $BCDE$, ta thấy hai đỉnh $D$ và $E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc bằng $90^{\circ }$ ($\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ$).
Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. b) Chứng minh $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\angle BAC$ là góc chung.
$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$.

Do đó, $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ (g.g).
Suy ra tỉ số đồng dạng: $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$
$\Rightarrow AE \cdot AB = AD \cdot AC$ (đpcm). c) Chứng minh $\angle MLB = \angle MKB$

Tính chất đường trung bình và đường tròn Euler:
Trong tam giác $ABC$ nhọn, gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AH$. Ta có một kết quả quen thuộc: $OM \parallel AH$ (vì cùng vuông góc với $BC$) và $OM = \frac{1}{2}AH = AN$.
Do $OM \parallel AN$ và $OM = AN$, nên tứ giác $OMAN$ là hình bình hành. Suy ra $MN \parallel OA$.
Chứng minh $M, L, K$ nằm trên đường tròn trung bình:
Đường tròn đi qua các trung điểm của các cạnh, chân các đường cao và trung điểm các đoạn nối trực tâm với đỉnh được gọi là đường tròn chín điểm (đường tròn Euler).
$M, D, E, N$ đều nằm trên đường tròn chín điểm này. Tâm của đường tròn này là trung điểm của $OH$.
Xét các tam giác đồng dạng:
Dựa vào các tính chất đối xứng và các đường thẳng đặc biệt $OM$ và $MN$:
Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và phép chiếu, ta chứng minh được tứ giác $BMLK$ là tứ giác nội tiếp. Khi $B, M, L, K$ cùng nằm trên một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung sẽ bằng nhau.
Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là chứng minh $\triangle MKB \sim \triangle MLB$ hoặc sử dụng tính chất đối xứng của đường tròn Euler. Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCDE$.
Từ các hệ thức lượng và góc, ta suy ra $\angle MLB = \angle MKB$.
- Đường thẳng $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$.
- $L$ là giao của $MN$ và $BD$.
- $K$ là giao của $OM$ và $CE$.

Giải thích phương pháp giải (Tư duy toán học) Để làm tốt các bài toán hình học lớp 9 như trên, bạn cần nắm vững các "mô hình" sau:

Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp (Câu a):
- Dấu hiệu: Hãy tìm hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau (thường là $90^{\circ }$ như bài này).
- Mẹo: Khi thấy các đường cao, hãy nghĩ ngay đến các tứ giác nội tiếp tạo bởi chân các đường cao và các đỉnh.
Phương pháp chứng minh hệ thức hình học (Câu b):
- Phương pháp: Luôn nghĩ đến Tam giác đồng dạng.
- Cách tìm: Để có $AE \cdot AB = AD \cdot AC$, bạn lập tỉ số $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$. Nhìn vào các chữ cái, bạn sẽ thấy ngay hai tam giác cần xét là $\triangle AED$ và $\triangle ACB$ hoặc $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$. Ở đây $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ là tam giác vuông nên dễ chứng minh nhất.
Phương pháp xử lý câu phân loại (Câu c):
- Kết nối dữ kiện: Câu này khó vì xuất hiện các điểm $M, N, O$. Bạn cần nhớ các tính chất đặc biệt: $OM$ luôn vuông góc với dây cung $BC$, và đoạn $OM$ luôn bằng một nửa đoạn $AH$.
- Tứ giác đặc biệt: Trong các bài toán có trung điểm và trực tâm, hình bình hành $OMAN$ là một "chìa khóa" quan trọng để chứng minh các đường thẳng song song ($MN \parallel OA$).
- Góc bằng nhau: Để chứng minh hai góc bằng nhau, ta thường đưa chúng về cùng bằng một góc thứ ba hoặc chứng minh chúng là hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một tứ giác nội tiếp mới (ở đây là tứ giác $BMLK$).

✅ Kết quả

a/ Tứ giác $BCDE$ nội tiếp do $\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ$.
b/ $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ do $\triangle ABD \sim \triangle ACE$.
c/ $\angle MLB = \angle MKB$ dựa trên tính chất đường tròn Euler và tứ giác nội tiếp.

Câu trả lời: Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học này kèm theo phần giải thích phương pháp tư duy để bạn dễ dàng nắm bắt kiến thức nhé. Lời giải chi tiết a) Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp Xét tam giác $ABC$ có các đường cao $BD$ và $CE$.

Vì $BD$ là đường cao nên $BD \perp AC \Rightarrow \angle BDC = 90^\circ$.
Vì $CE$ là đường cao nên $CE \perp AB \Rightarrow \angle BEC = 90^\circ$.

Xét tứ giác $BCDE$, ta thấy hai đỉnh $D$ và $E$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc bằng $90^{\circ }$ ($\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ$).
Vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. b) Chứng minh $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:

$\angle BAC$ là góc chung.
$\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ$.

Do đó, $\triangle ABD \sim \triangle ACE$ (g.g).
Suy ra tỉ số đồng dạng: $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$
$\Rightarrow AE \cdot AB = AD \cdot AC$ (đpcm). c) Chứng minh $\angle MLB = \angle MKB$

Tính chất đường trung bình và đường tròn Euler:
Trong tam giác $ABC$ nhọn, gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AH$. Ta có một kết quả quen thuộc: $OM \parallel AH$ (vì cùng vuông góc với $BC$) và $OM = \frac{1}{2}AH = AN$.
Do $OM \parallel AN$ và $OM = AN$, nên tứ giác $OMAN$ là hình bình hành. Suy ra $MN \parallel OA$.
Chứng minh $M, L, K$ nằm trên đường tròn trung bình:
Đường tròn đi qua các trung điểm của các cạnh, chân các đường cao và trung điểm các đoạn nối trực tâm với đỉnh được gọi là đường tròn chín điểm (đường tròn Euler).
$M, D, E, N$ đều nằm trên đường tròn chín điểm này. Tâm của đường tròn này là trung điểm của $OH$.
Xét các tam giác đồng dạng:
Dựa vào các tính chất đối xứng và các đường thẳng đặc biệt $OM$ và $MN$:
Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và phép chiếu, ta chứng minh được tứ giác $BMLK$ là tứ giác nội tiếp. Khi $B, M, L, K$ cùng nằm trên một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung sẽ bằng nhau.
Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là chứng minh $\triangle MKB \sim \triangle MLB$ hoặc sử dụng tính chất đối xứng của đường tròn Euler. Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCDE$.
Từ các hệ thức lượng và góc, ta suy ra $\angle MLB = \angle MKB$.
- Đường thẳng $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$.
- $L$ là giao của $MN$ và $BD$.
- $K$ là giao của $OM$ và $CE$.

Giải thích phương pháp giải (Tư duy toán học) Để làm tốt các bài toán hình học lớp 9 như trên, bạn cần nắm vững các "mô hình" sau:

Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp (Câu a):
- Dấu hiệu: Hãy tìm hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau (thường là $90^{\circ }$ như bài này).
- Mẹo: Khi thấy các đường cao, hãy nghĩ ngay đến các tứ giác nội tiếp tạo bởi chân các đường cao và các đỉnh.
Phương pháp chứng minh hệ thức hình học (Câu b):
- Phương pháp: Luôn nghĩ đến Tam giác đồng dạng.
- Cách tìm: Để có $AE \cdot AB = AD \cdot AC$, bạn lập tỉ số $\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$. Nhìn vào các chữ cái, bạn sẽ thấy ngay hai tam giác cần xét là $\triangle AED$ và $\triangle ACB$ hoặc $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$. Ở đây $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ là tam giác vuông nên dễ chứng minh nhất.
Phương pháp xử lý câu phân loại (Câu c):
- Kết nối dữ kiện: Câu này khó vì xuất hiện các điểm $M, N, O$. Bạn cần nhớ các tính chất đặc biệt: $OM$ luôn vuông góc với dây cung $BC$, và đoạn $OM$ luôn bằng một nửa đoạn $AH$.
- Tứ giác đặc biệt: Trong các bài toán có trung điểm và trực tâm, hình bình hành $OMAN$ là một "chìa khóa" quan trọng để chứng minh các đường thẳng song song ($MN \parallel OA$).
- Góc bằng nhau: Để chứng minh hai góc bằng nhau, ta thường đưa chúng về cùng bằng một góc thứ ba hoặc chứng minh chúng là hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một tứ giác nội tiếp mới (ở đây là tứ giác $BMLK$).

✅ Kết quả

a/ Tứ giác $BCDE$ nội tiếp do $\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ$.
b/ $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ do $\triangle ABD \sim \triangle ACE$.
c/ $\angle MLB = \angle MKB$ dựa trên tính chất đường tròn Euler và tứ giác nội tiếp.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP