Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\Rightarrow AC=SA=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow AB=a\)
Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow NM||SB\Rightarrow SB||\left(DMN\right)\)
\(\Rightarrow d\left(DM;SB\right)=d\left(SB;\left(DMN\right)\right)=d\left(B;\left(DMN\right)\right)\)
Mà M là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(B;\left(DMN\right)\right)=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)
Từ A kẻ AH vuông góc DM \(\Rightarrow DM\perp\left(NAH\right)\)
Trong mp (NAH), từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\dfrac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BSC}\) là góc giữa SC và (SAB)
\(tan\widehat{BSC}=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow SB=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}\)
\(\Rightarrow SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SOA}\) là góc giữa SO và (ABCD)
\(AO=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(tan\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SOA}=60^0\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB.tan45^0=a\)
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=CO\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
Kẻ AH vuông góc BD, kẻ AK vuông góc SH
\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)
Đáp án C
Gọi H là hình chiếu của C trên SO(O = AC ∩ BD), vì góc SOC tù nên H nằm ngoài SO
=> Góc tạo bởi SC và (SBD) là C S O ^
Ta có 
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,a,0), D(0,a,0)$
Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy là trung điểm $AB$:
$H = (a,0,0)$ ⇒ $S = (a,0,h)$
Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ$:
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA_z}{\sqrt{(C_x - S_x)^2 + (C_y - S_y)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{(2a - a)^2 + (a - 0)^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \dfrac{h}{a \sqrt{2}}$
Vậy $h = a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{6}$
Vector:
$\vec{SB} = B - S = (2a - a, 0 - 0, 0 - a\sqrt{6}) = (a,0,-a\sqrt{6})$
$\vec{AC} = C - A = (2a - 0, a - 0, 0 - 0) = (2a, a, 0)$
Góc giữa hai đường thẳng:
$\cos \theta = \dfrac{\vec{SB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{SB}| |\vec{AC}|}$
Tính:
$\vec{SB} \cdot \vec{AC} = a\cdot 2a + 0\cdot a + (-a\sqrt{6})\cdot 0 = 2a^2$
$|\vec{SB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 6a^2} = \sqrt{7} a$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + a^2 + 0} = \sqrt{5} a$
$\cos \theta = \dfrac{2a^2}{a \sqrt{7} \cdot a \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{35}}$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là:
$\theta = \arccos\left(\dfrac{2}{\sqrt{35}}\right)$
- Gọi O là giao điểm của AC và BD.
- Kẻ: OI ⊥ AB, OH ⊥ SI.
+) Ta có:
+) Ta lại có:
- Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng góc 
+) Khi đó: CD // AB nên CD // ( SAB).
Suy ra:
- Ta có:
+) Tam giác ABC có BC = BA và 
nên tam giác ABC đêù
- Trong tam giác OIA có:
a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.
Ta có 
Do đó (SBC) ⊥ (SIK)
b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).
Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK
ta có 
Ta lại có:
Do đó:
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng 
a)
Ta có $ABCD$ là hình vuông nên:
$AD \parallel BC$.
Gọi $I,\ K$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ BC$ nên:
$IK \parallel AB$.
Mặt khác:
$SA = SB = SC = SD$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình vuông.
Suy ra:
$SO \perp (ABCD)$.
Do đó:
$SO \perp IK$ và $SO \perp BC$.
Xét hai mặt phẳng $(SIK)$ và $(SBC)$:
$(SIK)$ chứa $SI$ và $IK$$(SBC)$ chứa $SB$ và $BC$Ta có:
$IK \parallel AB \perp BC$ nên:
$IK \perp BC$.
Mặt khác:
$SO \perp BC$.
Suy ra:
$BC \perp (SIK)$.
Mà $BC \subset (SBC)$ nên:
$(SIK) \perp (SBC)$.
b)
Ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Ta có:
$SO \perp (ABCD)$ nên $SO \perp AD$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$:
Ta có $AD \perp BD$ và $AD \perp SO$ nên:
$AD \perp (SBD)$.
Suy ra khoảng cách giữa $AD$ và $SB$ chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
Tính:
Trong tam giác vuông $SBD$:
$BD = a\sqrt{2}$, $SB = a\sqrt{2}$, $SD = a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \triangle SBD$ đều.
Diện tích:
$S_{SBD} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot h$ với $h = d(A,(SBD))$.
Mặt khác:
$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot SO$.
Tính $SO$:
$OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$SO^2 = SA^2 - OA^2 = 2a^2 - \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$
$\Rightarrow SO = a\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.
Suy ra:
$V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.
Do đó:
$\dfrac{1}{3}S_{SBD} \cdot d = V$
$\Rightarrow d = \dfrac{3V}{S_{SBD}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2}$
$= \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = a\sqrt{2}$.