Tập xác định :

Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m² + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3

- Với m = -1, ta có :

x=0 hoặc x=2.

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.

- Với m = -3, ta có:

x=2 hoặc x=4

Ta có bản biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.

\(I=\int e^xcosxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=cosxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=sinx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=e^xsinx-\int e^xsinxdx\)

Xét \(J=\int e^xsinxdx\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=sinxdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^x\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=-e^xcosx+\int e^xcosxdx=-e^xcosx+C\)

\(\Rightarrow I=e^xsinx-\left(-e^xcosx+I\right)=e^x\left(sinx+cosx\right)-I\)

\(\Rightarrow2I=e^x\left(sinx+cosx\right)\Rightarrow I=\left(\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx\right)e^x\)

Hoặc đơn giản là đạo hàm F(x) và đồng nhất hệ số với f(x) là xong

Nguyễn Việt Lâm ko bt bao giờ tui mới đủ trình

Xét hàm số : y = x⁴ – 2x² + 2

Có đạo hàm là: y’ = 4x³ – 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = -1

Đạo hàm cấp hai: y’’ = 12x² – 4

y’’(0) = -4 < 0 ⇒ điểm cực đại x_CD =0

y’’(-1) = 8 > 0, y’’(-1) = 8 > 0

⇒ các điểm cực tiểu x_{CT =} -1, x_CT = 1

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m² + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

saiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii hoan toan luon

- Xét a = 0 hàm số trở thành y = -9x + b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.

- Xét a # 0. Ta có : y’ = 5a²x² + 4ax – 9 ; y’= 0 ⇔ hoặc

- Với a < 0 ta có bảng biến thiên :

Theo giả thiết là điểm cực đại nên . Theo yêu cầu bài toán thì

- Với a > 0 ta có bảng biến thiên :

Vì là điểm cực đại nên . Theo yêu cầu bài toán thì:

Vậy các giá trị a, b cần tìm là: hoặc .

a) y= -x⁴ + 2mx² – 2m + 1(C_m). Tập xác định: D = R

y ‘ = -4x³ + 4mx = -4x (x² – m)

- Với m ≤ 0 thì y’ có một nghiệm x = 0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này. Do đó hàm số có một cực đại là x = 0

Do đó, hàm số có 2 cực trị tại x = ± √m và có một cực tiểu tại x = 0

b) Phương trình -x⁴ + 2mx² – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (C_m) luôn cắt trục hoành.

c) Theo lời giải câu a, ta thấy ngay:

với m > 0 thì đồ thị (C_m) có cực đại và cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Xét $f(x)=\frac{x}{2}+m\sqrt{x^2+2}$

Để $f(x)$ có cực đại tại điểm $x_0\in D$ thì:

\(\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=\frac{1}{2}+\frac{mx_0}{\sqrt{x_0^2+2}}=0\\ f''(x_0)=\frac{2m}{\sqrt{(x_0^2+2)^3}}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x_0^2+2}=-2mx_0\\ m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx_0\leq 0\\ x_0^2(4m^2-1)=2\\ m< 0\end{matrix}\right.\)

Điều này xảy ra khi $4m^2-1>0$ và $m< 0$

Hay $m< \frac{-1}{2}$

Câu 3:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^3=x^2-4x+4\Leftrightarrow x^3-x^2+4x-4=0\Rightarrow x=1\)

\(x^3=0\Rightarrow x=0\)

\(x^2-4x+4=0\Rightarrow x=2\)

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^1_0x^3dx+\int\limits^2_1\left(x^2-4x+4\right)dx=\frac{7}{12}\)

Câu 4:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^3-3x+2=x+2\Leftrightarrow x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^0_{-2}\left(x^3-3x+2-x-2\right)dx+\int\limits^2_0\left(x+2-x^3+3x-2\right)dx=8\)

Câu 1:

Phương trình hoành độ giao điểm: \(cosx=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0cosxdx-\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}cosxdx=2\)

Câu 2:

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x.e^x=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^3_0xe^x-\int\limits^0_{-2}xe^xdx\)

Xét \(I=\int x.e^xdx\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.e^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C=\left(x-1\right)e^x+C\)

\(\Rightarrow S=\left(x-1\right)e^x|^3_0-\left(x-1\right)e^x|^0_{-2}=2e^3+1-\left[-1+\frac{3}{e^2}\right]=2e^3+2-\frac{3}{e^2}\)