Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{n+4}{n-1}=\frac{n-1+5}{n-1}=1+\frac{5}{n-1}\) vì 1 thuộc Z => để A thuộc Z thì 5 / n-1 thuộc Z
<=> n-1 thuộc Ư(5 )=> n-1 = 5 => n = 6
n-1 = -5 => n=-4
n-1 = 1 => n= 2
n -1 = -1 => n = 0
B làm tương tự tách 4n -1 = 4n + 2 -3 = 2. ( 2n+1 ) -3
a) *) \(\frac{n-1}{3-2n}\)
Gọi d là ƯCLN (n-1;3-2n) (d\(\inℕ\))
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n-1⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-2⋮d\\3-2n⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(2n-2\right)+\left(3-2n\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (n-1;3-2n)=1
=> \(\frac{n-1}{3-2n}\)tối giản với n là số tự nhiên
*) \(\frac{3n+7}{5n+12}\)
Gọi d là ƯCLN (3n+7;5n+12) \(\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+7⋮d\\5n+12⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+35⋮d\\15n+36⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}\left(15n+36\right)-\left(15n+35\right)⋮d}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\left(d\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow d=1\)
=> ƯCLN (3n+7;5n+12)=1
=> \(\frac{3n+7}{5n+12}\) tối giản với n là số tự nhiên
b) *) \(\frac{2n+5}{n-1}\left(n\ne1\right)\)
\(=\frac{2\left(n-1\right)+7}{n-1}=2+\frac{7}{n-1}\)
Để \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên => \(2+\frac{7}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
2 nguyên => \(\frac{7}{n-1}\)nguyên
=> 7 chia hết cho n-1
n nguyên => n-1 nguyên => n-1\(\inƯ\left(7\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)
Ta có bảng
| n-1 | -7 | -1 | 1 | 7 |
| n | -6 | 0 | 2 | 8 |
vậy n={-6;0;2;8} thì \(\frac{2n+5}{n-1}\) nhận giá trị nguyên
Câu 1. 3n + 12 ≡ 0 (mod 7) ⇔ 3n ≡ -12 ≡ 2 (mod 7), vì -12 ≡ 2 mod 7, nhân cả hai vế với 5 là nghịch đảo của 3 mod 7 ta được n ≡ 10 ≡ 3 (mod 7), vì 5.3 = 15 ≡ 1 mod 7, vậy n = 7k + 3 với k ∈ N, đây là các số tự nhiên thỏa mãn
Câu 2. Phân số (5n + 2)/(2n + 7) rút gọn được ⇔ tử và mẫu có ước chung > 1 ⇔ d = gcd(5n + 2, 2n + 7) > 1, xét d | (5n + 2) và d | (2n + 7) ⇒ d | [5(2n + 7) - 2(5n + 2)] = 10n + 35 - 10n - 4 = 31 ⇒ d | 31, vì 31 là số nguyên tố nên d = 31, suy ra 2n + 7 ≡ 0 (mod 31) ⇔ 2n ≡ -7 ≡ 24 (mod 31), nhân với 16 là nghịch đảo của 2 mod 31 ta được n ≡ 384 ≡ 12 (mod 31), vậy n = 31k + 12, trong khoảng 165 ≤ n ≤ 250 ta có n = 167, 198, 229
Câu 1. 3n + 12 ≡ 0 (mod 7) ⇔ 3n ≡ -12 ≡ 2 (mod 7), vì -12 ≡ 2 mod 7, nhân cả hai vế với 5 là nghịch đảo của 3 mod 7 ta được n ≡ 10 ≡ 3 (mod 7), vì 5.3 = 15 ≡ 1 mod 7, vậy n = 7k + 3 với k ∈ N, đây là các số tự nhiên thỏa mãn
Câu 2. Phân số (5n + 2)/(2n + 7) rút gọn được ⇔ tử và mẫu có ước chung > 1 ⇔ d = gcd(5n + 2, 2n + 7) > 1, xét d | (5n + 2) và d | (2n + 7) ⇒ d | [5(2n + 7) - 2(5n + 2)] = 10n + 35 - 10n - 4 = 31 ⇒ d | 31, vì 31 là số nguyên tố nên d = 31, suy ra 2n + 7 ≡ 0 (mod 31) ⇔ 2n ≡ -7 ≡ 24 (mod 31), nhân với 16 là nghịch đảo của 2 mod 31 ta được n ≡ 384 ≡ 12 (mod 31), vậy n = 31k + 12, trong khoảng 165 ≤ n ≤ 250 ta có n = 167, 198, 229
1. Tìm số tự nhiên $n$ để $3n + 12$ chia hết cho $7$
Để $3n + 12$ chia hết cho $7$ (ký hiệu là $3n + 12 \mid 7$), ta thực hiện các bước sau:
$3n + 12 = 3n + 7 + 5$
Vì $7$ đã chia hết cho $7$, nên ta chỉ cần $3n + 5$ chia hết cho $7$.
Thử các giá trị $n = 0, 1, 2, 3...$
Với $n = 3$, ta có: $3(3) + 5 = 14$. Mà $14$ chia hết cho $7$. Vậy $n = 3$ là một nghiệm.
Vì số chia là $7$, nên các giá trị của $n$ sẽ cách nhau $7$ đơn vị.
Công thức: $n = 7k + 3$ (với $k \in \mathbb{N}$).
2. Tìm $n \in [165, 250]$ để phân số $\frac{5n+2}{2n+7}$ rút gọn được
Để phân số này rút gọn được, tử số và mẫu số phải có một ước chung lớn hơn $1$. Gọi ước chung đó là $d$ ($d > 1$).
$\begin{cases} 5n + 2 \vdots d \\ 2n + 7 \vdots d \end{cases}$
Ta có: $2(5n + 2) - 5(2n + 7) \vdots d$
$\Rightarrow (10n + 4) - (10n + 35) \vdots d$
$\Rightarrow -31 \vdots d$
Vì $31$ là số nguyên tố và $d > 1$, nên $d = 31$.
$2n + 7 = 31k$ (với $k$ là số lẻ vì $2n+7$ luôn lẻ)
Thử $k=1 \Rightarrow 2n + 7 = 31 \Rightarrow 2n = 24 \Rightarrow n = 12$.
Vậy $n$ có dạng: $n = 31m + 12$ (với $m \in \mathbb{N}$).
$165 \le 31m + 12 \le 250$
$153 \le 31m \le 238$
$4.9 \le m \le 7.6$
Vậy $m$ có thể nhận các giá trị: $5, 6, 7$.