C1. Vẽ parabol y = 3x² - 10x + 7 và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Xét hàm số:
y = 3x² - 10x + 7

Vì a = 3 > 0 nên parabol mở lên.

Ta có:
x đỉnh = -b/(2a) = -(-10)/(2.3) = 10/6 = 5/3

Thay vào hàm số:
y đỉnh = 3.(5/3)² - 10.(5/3) + 7
= 3.25/9 - 50/3 + 7
= 25/3 - 50/3 + 7
= -25/3 + 21/3
= -4/3

Vậy đỉnh của parabol là:
I(5/3 ; -4/3)

Trục đối xứng là:
x = 5/3

Tìm giao điểm với trục Ox:
3x² - 10x + 7 = 0

Delta = (-10)² - 4.3.7 = 100 - 84 = 16

Suy ra:
x = (10 ± 4)/6

Nên:
x₁ = 1, x₂ = 7/3

Vậy parabol cắt trục Ox tại:
A(1 ; 0), B(7/3 ; 0)

Tìm giao điểm với trục Oy:
Cho x = 0 thì y = 7

Vậy parabol cắt trục Oy tại:
C(0 ; 7)

Muốn vẽ parabol, ta lấy các điểm đặc trưng:
I(5/3 ; -4/3), A(1 ; 0), B(7/3 ; 0), C(0 ; 7)

Xét tính đồng biến, nghịch biến:
Ta có:
y' = 6x - 10

Cho y' = 0:
6x - 10 = 0
x = 5/3

Nếu x < 5/3 thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên (-∞ ; 5/3)

Nếu x > 5/3 thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên (5/3 ; +∞)

Kết luận:
Hàm số nghịch biến trên (-∞ ; 5/3)
Hàm số đồng biến trên (5/3 ; +∞)

C2. Cho 2 điểm A(8;0) và B(0;6). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Ta có:
O(0;0), A(8;0), B(0;6)

Vì OA nằm trên trục Ox, OB nằm trên trục Oy nên:
OA vuông góc OB

Suy ra tam giác OAB vuông tại O.

Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền AB.

Tọa độ trung điểm của AB là:
I((8+0)/2 ; (0+6)/2) = (4 ; 3)

Độ dài AB:
AB = căn[(8-0)² + (0-6)²]
= căn(64 + 36)
= căn100
= 10

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R = AB/2 = 5

Vậy phương trình đường tròn là:
(x - 4)² + (y - 3)² = 25

Khai triển ra:
x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² - 8x - 6y = 0

Kết luận:
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
(x - 4)² + (y - 3)² = 25
hoặc
x² + y² - 8x - 6y = 0

C3. Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm M(2 ; -√2) và N(-√6 ; 1)

Giả sử elip có phương trình chính tắc:
x²/a² + y²/b² = 1
với a > b > 0

Vì M(2 ; -√2) thuộc elip nên:
2²/a² + (-√2)²/b² = 1
4/a² + 2/b² = 1 (1)

Vì N(-√6 ; 1) thuộc elip nên:
(-√6)²/a² + 1²/b² = 1
6/a² + 1/b² = 1 (2)

Đặt:
u = 1/a², v = 1/b²

Khi đó hệ trở thành:
4u + 2v = 1
6u + v = 1

Từ phương trình thứ hai:
v = 1 - 6u

Thế vào phương trình thứ nhất:
4u + 2(1 - 6u) = 1
4u + 2 - 12u = 1
-8u = -1
u = 1/8

Suy ra:
1/a² = 1/8
a² = 8

Lại có:
v = 1 - 6.1/8 = 1 - 3/4 = 1/4

Suy ra:
1/b² = 1/4
b² = 4

Vậy phương trình elip là:
x²/8 + y²/4 = 1

Kết luận:
Phương trình chính tắc của elip là
x²/8 + y²/4 = 1

C4. Tính góc giữa hai đường thẳng

Δ₁: x + 3y + 2 = 0
Δ₂: 3x - y + 1 = 0

Đưa về dạng hệ số góc:

Δ₁: x + 3y + 2 = 0
=> 3y = -x - 2
=> y = -1/3 x - 2/3

Vậy hệ số góc của Δ₁ là:
m₁ = -1/3

Δ₂: 3x - y + 1 = 0
=> y = 3x + 1

Vậy hệ số góc của Δ₂ là:
m₂ = 3

Ta có:
m₁.m₂ = (-1/3).3 = -1

Suy ra:
Δ₁ vuông góc Δ₂

Vậy góc giữa hai đường thẳng là:
90°

????

Câu 4: Δ1: x+3y+2=0

=>Vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{a}=\left(1;3\right)\)

Δ2: 3x-y+1=0

=>Vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{b}=\left(3;-1\right)\)

Vì \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot3+3\cdot\left(-1\right)=0\)

nên Δ1⊥Δ2

=>Góc giữa hai đường thẳng là 90 độ

Câu 2: O(0;0); A(8;0); B(0;6)

\(OA=\sqrt{\left(8-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=8\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}=6\)

\(AB=\sqrt{\left(0-8\right)^2+\left(6-0\right)^2}=10\)

Vì \(OA_{}^2+OB^2=AB^2\)

nên ΔOAB vuông tại O

=>ΔOAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

Bán kính là AB/2=5

Tọa độ tâmlà:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac{8+0}{2}=\frac82=4\\ y_{I}=\frac{0+6}{2}=\frac62=3\end{cases}\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔOAB là:

\(\left(x-4\right)^2+\left(y-3\right)^2=R^2=25\)