trả lời :

a) 

\(M=\dfrac{x^2-2x\sqrt{2}+2}{x^2-2}=\dfrac{\left(x-\sqrt{2}\right)^2}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}\)

\(M=\dfrac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\)

b)\(N=\dfrac{x+\sqrt{5}}{x^2+2x\sqrt{5}+5}\)

\(N=\dfrac{x+\sqrt{5}}{\left(x+\sqrt{5}\right)^2}=\dfrac{1}{x+\sqrt{5}}\)

^HT^

a, Ta có :

    \(M=\frac{\left(x-\sqrt{2}\right)^2}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}\)

          \(=\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\)( với x khác cộng trừ căn 2)

b, Ta có:

      \(N=\frac{x+\sqrt{5}}{\left(x+\sqrt{5}\right)^2}=\frac{1}{x+\sqrt{5}}\)

         ( với x khác trừ căn 5)

Chúc học tốt + k mình nha

k bt lm

cách lm nữa bn

Ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{a}}\le\frac{1+\frac{b+c}{a}}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\) 

     \(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)  

Tương tự \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\) 

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\) 

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0 (trái gt) 

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)(đpcm)

a) \(\sqrt{x+1}=x-1\) ( ĐKXĐ : x \(>0\) )

\(\Rightarrow x+1=\left(x-1\right)^2\)

\(x+1=x^2-2x+1\)

\(x^2-3x=0\)

\(x\left(x-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\) ( loại x = 0 do không thoả mãn ĐKXĐ )

Vậy nghiệm của pt là x = 3

b) \(x-\sqrt{2x+3}=0\) ( ĐKXĐ : x \(\ge-\dfrac{3}{2}\) , x \(\ne\) -1 )

\(x^2-2x-3=0\)

\(\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\) ( Loại x = -1 do không thoả mãn ĐKXĐ )

Vậy nghiệm của pt là x = 3

c) \(\sqrt{x^2+2x+1}=5\)

\(\sqrt{\left(x+1\right)^2}=5\)

\(x+1=5\)

\(x=4\)

Vậy nghiệm của pt là x = 4

d) \(\sqrt{x-4\sqrt{x}+4}=3\) ( ĐKXĐ : x \(\ge\) 0 )

\(\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}=3\)

\(\sqrt{x}-2=3\)

\(\sqrt{x}=5\Rightarrow x=5\)

c) \(\sqrt{x^2+2x+1}=5\)

<=> \(\sqrt{\left(x+1\right)^2}=5\)

<=> \(\left|x+1\right|=5\)

Ta xét 2 TH :

* Khi \(x+1\ge0\) <=> x \(\ge\) -1

Ta có PT :

x + 1 = 5

=> x = 4 (TM)

* Khi x + 1 < 0 <=> x < - 1

Ta có PT :

- x - 1 = 5

<=> -x = 5+1

=> x = -6 (TM)

Vậy Tập nghiệm của Pt là : S = { -6 ; 4 }

d) \(\sqrt{x-4\sqrt{x}+4}=3\)

<=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x}\right)^2-2.\sqrt{x}.2+2^2}\) = 3

<=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}\) = 3

<=> \(\left|\sqrt{x}-2\right|\) = 3

Ta xét 2TH :

* Khi \(\sqrt{x}-2\ge0< =>x\ge4\)

Ta có PT :

\(\sqrt{x-2}=3\)

<=> \(\sqrt{x}=5\) => x = 25 (TM)

* Khi \(\sqrt{x}-2< 0\Leftrightarrow x< 4\)

Ta có PT :

\(-\sqrt{x-2}=3\)

vì để \(\sqrt{x-2}\) được xác định thì \(\sqrt{x-2}\ge0\) => x \(\ge\) 0

nên => TH 2 không thỏa mãn

Vậy S = {25}

1,

a) Ta có \(a^2-ab+b^2=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=0, trái với a³+b³>0

=> a²-ab+b²>0, mà

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)>0

=> a+b>0

Lại có a,b thuộc Z nên a²-ab+b² >= 1 nên a³+b³ >=a+b

Dấu "=" xảy ra khi (a;b) \(\in\){(1;1);(1;0);(0;1)}

b) Ta xét 2 TH

-Nếu ab =< 0, ta có:

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) >= (a+b)(a²+b²)>= a²+b², do a+b >=1

-Nếu ab>0 kết hợp với a+b>0 => a>0; b>0 dẫn tới a+b >=2

=> a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) >=2(a²-ab+b²)

=a²+b²+(a-b)² >=  a²+b²

Dẫn tới a³+b³ >= a²+b²

Dấu "=" xảy ra khi (a;b) \(\in\){(1;1);(1;0);(0;1)}

a) \(3x^2-7x+2=0\Leftrightarrow\left(3x^2-6x\right)-\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\x=2\end{cases}}\)Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{\frac{1}{3};2\right\}\)

b) \(x^4-5x+4=0\Leftrightarrow\left(x^4-x\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^3+x^2+x-4=0\end{cases}}\)Xét phương trình: \(x^3+x^2+x-4=0\)

Đặt \(x=y-\frac{1}{3}\)thì phương trình trở thành \(y^3+\frac{18}{27}y-\frac{115}{27}=0\)có các hệ số \(a=\frac{18}{27},b=\frac{-115}{27}\)

\(\Rightarrow D=\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3=\left(\frac{\frac{-115}{27}}{2}\right)^2+\left(\frac{\frac{18}{27}}{3}\right)^3=\frac{491}{108}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}-\frac{1}{3}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{1;\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}-\frac{1}{3}\right\}\)

c) \(\hept{\begin{cases}\sqrt{5}x-2y=7\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{2\sqrt{5}}{5}y=\frac{7\sqrt{5}}{5}\left(1\right)\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2), ta được: \(\frac{3\sqrt{5}}{5}y=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow y=-1\). Từ đó tìm được \(x=\sqrt{5}\)

Vậy hệ có 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{5};-1\right)\)