Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(2\left(m^2+n^2\right)-1=2\left(m^2+n^2+2mn\right)-1-4mn=2\left(m+n\right)^2-1-4mn\)
\(=2\left[\left(m+n\right)^2-1\right]-4mn+1=2\left(m+n-1\right)\left(m+n+1\right)-4mn+1-4m^2-4m+4m^2+4m\)
\(=2\left(m+n+1\right)\left(-m+n-1\right)+\left(2m+1\right)^2\)
Suy ra \(\left(2m+1\right)^2⋮\left(m+n+1\right)\)mà \(m+n+1\)nguyên tố nên \(2m+1⋮m+n+1\)
do \(m,n\)nguyên dương suy ra \(2m+1\ge m+n+1\Leftrightarrow m\ge n\).
Một cách tương tự ta cũng suy ra được \(n\ge m\).
Do đó \(m=n\).
Khi đó \(mn=m^2\)là một số chính phương.
Đặt A = \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\)
=> \(A^2=n+n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\) = \(2n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\)
Vì n nguyên dương nên 2n + 4 nguyên dương
Mặt khác n(n+4) >0 , không là số chính phương nên \(\sqrt{n\left(n+4\right)}\) , không phải số nguyên dương
=> \(2\left(\sqrt{n\left(n+4\right)}\right)\) không phải số nguyên dương
=> A2 không phải số nguyên dương => A không phải số nguyên dương ( đpcm)
============================
Do mm𝑚là ước nguyên dương của 2n22 n squared2𝑛2, ta có 2n2=m⋅q2 n squared equals m center dot q2𝑛2=𝑚⋅𝑞với qq𝑞là số nguyên dương. Bước 2: Biểu diễn mm𝑚và thay vào phương trình Từ m⋅q=2n2m center dot q equals 2 n squared𝑚⋅𝑞=2𝑛2, ta có m=2n2qm equals the fraction with numerator 2 n squared and denominator q end-fraction𝑚=2𝑛2𝑞.
Thay mm𝑚vào phương trình ban đầu: n2+2n2q=k2n squared plus the fraction with numerator 2 n squared and denominator q end-fraction equals k squared𝑛2+2𝑛2𝑞=𝑘2 n2(1+2q)=k2n squared open paren 1 plus 2 over q end-fraction close paren equals k squared𝑛21+2𝑞=𝑘2 n2(q+2q)=k2n squared open paren the fraction with numerator q plus 2 and denominator q end-fraction close paren equals k squared𝑛2𝑞+2𝑞=𝑘2 n2(q+2)=k2qn squared open paren q plus 2 close paren equals k squared q𝑛2(𝑞+2)=𝑘2𝑞 Bước 3: Chứng minh qq𝑞và q+2q plus 2𝑞+2là hai số nguyên tố cùng nhau Phương trình có thể viết lại thành q+2q=k2n2=(kn)2the fraction with numerator q plus 2 and denominator q end-fraction equals the fraction with numerator k squared and denominator n squared end-fraction equals open paren k over n end-fraction close paren squared𝑞+2𝑞=𝑘2𝑛2=𝑘𝑛2.
Để q+2qthe fraction with numerator q plus 2 and denominator q end-fraction𝑞+2𝑞là bình phương của một số hữu tỉ, nó phải là bình phương của một số nguyên nếu qq𝑞và q+2q plus 2𝑞+2là nguyên tố cùng nhau.
Ước chung lớn nhất của qq𝑞và q+2q plus 2𝑞+2là CLN(q,q+2)=CLN(q,2)CLN open paren q comma q plus 2 close paren equals CLN open paren q comma 2 close parenCLN(𝑞,𝑞+2)=CLN(𝑞,2).
Do đó, CLN(q,q+2)CLN open paren q comma q plus 2 close parenCLN(𝑞,𝑞+2)chỉ có thể là 1 hoặc 2. Bước 4: Xét các trường hợp của CLN(q,q+2)CLN open paren q comma q plus 2 close parenCLN(𝑞,𝑞+2)
- Trường hợp 1: CLN(q,q+2)=1CLN open paren q comma q plus 2 close paren equals 1CLN(𝑞,𝑞+2)=1(tức qq𝑞lẻ)
Nếu qq𝑞và q+2q plus 2𝑞+2nguyên tố cùng nhau, và tích n2(q+2)=k2qn squared open paren q plus 2 close paren equals k squared q𝑛2(𝑞+2)=𝑘2𝑞là một số chính phương, thì cả qq𝑞và q+2q plus 2𝑞+2đều phải là số chính phương.Đặt q=a2q equals a squared𝑞=𝑎2và q+2=b2q plus 2 equals b squared𝑞+2=𝑏2với a,ba comma b𝑎,𝑏là các số nguyên dương. b2−a2=2⟹(b−a)(b+a)=2b squared minus a squared equals 2 ⟹ open paren b minus a close paren open paren b plus a close paren equals 2𝑏2−𝑎2=2⟹(𝑏−𝑎)(𝑏+𝑎)=2 Vì a,ba comma b𝑎,𝑏nguyên dương và b+a>b−ab plus a is greater than b minus a𝑏+𝑎>𝑏−𝑎, ta có hệ phương trình: {b−a=1b+a=22 cases; Case 1: b minus a equals 1; Case 2: b plus a equals 2 end-cases;𝑏−𝑎=1𝑏+𝑎=2 Giải hệ này ta được 2b=32 b equals 32𝑏=3, suy ra b=1.5b equals 1.5𝑏=1.5, không phải là số nguyên. Trường hợp này vô lý.
- Trường hợp 2: CLN(q,q+2)=2CLN open paren q comma q plus 2 close paren equals 2CLN(𝑞,𝑞+2)=2(tức qq𝑞chẵn)
Đặt q=2pq equals 2 p𝑞=2𝑝, với pp𝑝là số nguyên dương.Phương trình trở thành n2(2p+2)=k2(2p)⟹n2⋅2(p+1)=k2⋅2p⟹n2(p+1)=k2pn squared open paren 2 p plus 2 close paren equals k squared open paren 2 p close paren ⟹ n squared center dot 2 open paren p plus 1 close paren equals k squared center dot 2 p ⟹ n squared open paren p plus 1 close paren equals k squared p𝑛2(2𝑝+2)=𝑘2(2𝑝)⟹𝑛2⋅2(𝑝+1)=𝑘2⋅2𝑝⟹𝑛2(𝑝+1)=𝑘2𝑝.
Tương tự, ta có p+1p=k2n2the fraction with numerator p plus 1 and denominator p end-fraction equals the fraction with numerator k squared and denominator n squared end-fraction𝑝+1𝑝=𝑘2𝑛2. CLN(p,p+1)=1CLN open paren p comma p plus 1 close paren equals 1CLN(𝑝,𝑝+1)=1 Do đó, pp𝑝và p+1p plus 1𝑝+1phải là số chính phương.
Đặt p=c2p equals c squared𝑝=𝑐2và p+1=d2...