Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180^o nên nội tiếp đường tròn tâm O, ta có

OA = OB = OC = OD

Do đó các đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua O

Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180^o nên nội tiếp đường tròn tâm O, ta có

OA = OB = OC = OD

Do đó các đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua O

Tứ giác ABCD có 

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = R

Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD

Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

D A B C O

- Tứ giác ABCD có \(\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o\)mà hai góc ABC và ADC là 2 góc ở vị trí đối nhau 

=> Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

- Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , khi đó OA = OB = OC = OD ( cùng bán kính của đường tròn ( O ))

+) Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn thằng AB

+) Vì OA = OC nên O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC

+) VÌ OD = OB nên O thuộc đường trung trực của đoạn thằng BD

Do đó các đường trung trực của AB , BD cùng đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

 

Tứ giác ABCD có 

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = R

Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD

Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

Kiến thức áp dụng

dùng bất đẳng thức cauchy

ta có diện tích hai tam giác AFE bằng BFE ( do tam giác ABF có đường trung tuyến FE)

kết hợp với giả thiết ta có diện tích ADF bằng BCF

hay d(A,DF).DF.1/2=d(B,CF).CF.1/2

hay d(A,DF)=d(B,CF)d(A,DF)=d(B,CF) hay AB song song với DC 

vậy => đpcm