Câu hỏi của Đỗ Hoàng Long

Question

giúp tui đi mấy brooo

!!

Nguyễn tiến dũng · Accepted Answer

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{65} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \frac{1}{7^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{40} .$

1️⃣ Chứng minh vế trái

$\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}}$

Ta chỉ cần lấy một phần của tổng là đủ:

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} > \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{125} + \frac{1}{216} .$

Quy đồng:

$\frac{1}{125} + \frac{1}{216} = \frac{216 + 125}{27000} = \frac{341}{27000} \approx 0.01263.$

Trong khi đó:

$\frac{1}{65} \approx 0.01538.$

👉 À, nhìn thì chưa đủ, nên ta cộng thêm 1 số hạng nữa:

$\frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343} \approx 0.0029.$

Tổng:

$0.01263 + 0.0029 = 0.01553 > 0.01538 = \frac{1}{65} .$

✅ Suy ra:

$\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} .$

2️⃣ Chứng minh vế phải

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40}$

Ta dùng bất đẳng thức tích phân chuẩn:

Với $x \geq 1$, hàm $f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{3}}$ giảm, nên:

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x .$

Tính tích phân:

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{2 x^{2}} \left]\right.\right)_{4}^{\infty} = \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} = \frac{1}{32} .$

Mà:

$\frac{1}{32} < \frac{1}{40} .$

👉 Do đó:

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40} .$

🎯 Kết luận

$\boxed{\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} < \frac{1}{40}}$

Câu trả lời:

Ta cần chứng minh:

$\frac{1}{65} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \frac{1}{7^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{40} .$

1️⃣ Chứng minh vế trái

$\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}}$

Ta chỉ cần lấy một phần của tổng là đủ:

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} > \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{125} + \frac{1}{216} .$

Quy đồng:

$\frac{1}{125} + \frac{1}{216} = \frac{216 + 125}{27000} = \frac{341}{27000} \approx 0.01263.$

Trong khi đó:

$\frac{1}{65} \approx 0.01538.$

👉 À, nhìn thì chưa đủ, nên ta cộng thêm 1 số hạng nữa:

$\frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343} \approx 0.0029.$

Tổng:

$0.01263 + 0.0029 = 0.01553 > 0.01538 = \frac{1}{65} .$

✅ Suy ra:

$\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} .$

2️⃣ Chứng minh vế phải

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40}$

Ta dùng bất đẳng thức tích phân chuẩn:

Với $x \geq 1$, hàm $f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{3}}$ giảm, nên:

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x .$

Tính tích phân:

$\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{2 x^{2}} \left]\right.\right)_{4}^{\infty} = \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} = \frac{1}{32} .$

Mà:

$\frac{1}{32} < \frac{1}{40} .$

👉 Do đó:

$\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40} .$

🎯 Kết luận

$\boxed{\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} < \frac{1}{40}}$

Hà Quang Minh · Answer

$$ \text{Đặt } S=\sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k^3}. $$ Với mọi $k\ge 5$, ta có $$ k(k+1)(k+2)>k^3>k(k-1)(k+1), $$ nên $$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)}<\frac{1}{k^3}<\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. $$ Cộng theo $k$ từ $5$ đến $2023$: $$ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\frac1{60}-\frac1{780} =\frac1{65}. $$ Do đó $$ S>\frac1{65}. $$ Mặt khác, $$ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k-1)}-\frac{1}{k(k+1)}\right) $$ $$ =\frac12\left[\left(\frac14-\frac1{2023}\right)-\left(\frac15-\frac1{2024}\right)\right] =\frac12\left(\frac1{20}-\frac1{2023\cdot2024}\right) <\frac1{40}. $$ Suy ra $$ S<\frac1{40}. $$ Vậy $$ \boxed{\frac1{65}<\frac1{5^3}+\frac1{6^3}+\frac1{7^3}+\cdots+\frac1{2023^3}<\frac1{40}.} $$

Câu trả lời:

$$ \text{Đặt } S=\sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k^3}. $$ Với mọi $k\ge 5$, ta có $$ k(k+1)(k+2)>k^3>k(k-1)(k+1), $$ nên $$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)}<\frac{1}{k^3}<\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. $$ Cộng theo $k$ từ $5$ đến $2023$: $$ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\frac1{60}-\frac1{780} =\frac1{65}. $$ Do đó $$ S>\frac1{65}. $$ Mặt khác, $$ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k-1)}-\frac{1}{k(k+1)}\right) $$ $$ =\frac12\left[\left(\frac14-\frac1{2023}\right)-\left(\frac15-\frac1{2024}\right)\right] =\frac12\left(\frac1{20}-\frac1{2023\cdot2024}\right) <\frac1{40}. $$ Suy ra $$ S<\frac1{40}. $$ Vậy $$ \boxed{\frac1{65}<\frac1{5^3}+\frac1{6^3}+\frac1{7^3}+\cdots+\frac1{2023^3}<\frac1{40}.} $$

Đỗ Hoàng Long · Answer

nói tht mấy bn ko giúp tui đc thì thôi đừng copy con chat gpt dùng cả tích phân giải toán cho hs lớp 7 đã thế nó còn làm sai

Câu trả lời:

nói tht mấy bn ko giúp tui đc thì thôi đừng copy con chat gpt dùng cả tích phân giải toán cho hs lớp 7 đã thế nó còn làm sai

1️⃣ Chứng minh vế trái

2️⃣ Chứng minh vế phải

🎯 Kết luận

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

1️⃣ Chứng minh vế trái

2️⃣ Chứng minh vế phải

🎯 Kết luận

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP