Tìm n là số tự nhiên để

n^2 + 2n + 20 là số chính phương:

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề số chính phương hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Vì n là số tự nhiên nên:

n^2 + 2n + 1 < n^2 + 2n + 20 < n^2 +10n + 25

(n + 1)\(^2\) < n^2 + 2n + 20 < (n + 5)^2

Vì n^2 + 2n + 20 là số chính phương nên:

n^2+ 2n + 20 = (n + 2)^2

hoặc n^2 + 2n + 20 = (n + 3)^2

hoặc n^2 + 2n + 20 = (n + 4)^2

TH1:

n^2 + 2n+ 20 = (n + 2)^2

n^2+ 2n+ 20 = n^2 + 4n+ 4

4n - 2n = 20 - 4

2n = 16

n = 8 (thỏa mãn)

TH2:

n^2 + 2n+ 20 = (n+ 3)^2

n^2 + 2n + 20 = n^2 + 6n + 9

6n - 2n = 20 - 9

4n = 11

n = 11/4 (loại)

n^2 + 2n+ 20 = (n + 4)^2

n^2 + 2n+ 20 = n^2 + 8n + 16

8n - 2n = 20 - 16

6n = 4

n = 4/6

n = 1/3 (loại)

vậy giá trị duy nhất của n thỏa mãn đề bài là:

n = 8

Đặt \(n_{}^2+2n+20=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(n^2+2n+1+19-k^2=0\)

=>\(\left(n+1\right)^2-k^2=-19\)

=>(n+1-k; n+1+k)=-19

=>(n+1-k; n+1+k)∈{(1;-19);(-19;1);(-1;19);(19;-1)}

TH1: n+1-k=1 và n+1+k=-19

=>n+1-k+n+1+k=1-19

=>2n+2=-18

=>2n=-20

=>n=-10(loại)

TH2: n+1-k=-19 và n+1+k=1

=>n+1-k+n+1+k=1-19

=>2n+2=-18

=>2n=-20

=>n=-10(loại)

TH3: n+1-k=-1 và n+1+k=19

=>n+1-k+n+1+k=-1+19

=>2n+2=18

=>2n=16

=>n=8(nhận)

TH4: n+1-k=19 và n+1+k=-1

=>n+1-k+n+1+k=-1+19

=>2n+2=18

=>2n=16

=>n=8(nhận)

Vậy: n=8