Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
Tương tự: \(y^2+z^2\ge2yz\); \(x^2+z^2\ge2xz\)
Cộng từng vế của các BDDT trên:
\(2\left(xz+yz+xy\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\)
\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3xy+3yz+3xz\le3^2=9\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le3\)
Vậy \(D_{max}=3\Leftrightarrow x=y=z\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1+1+1\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge3^2=9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Vậy \(C_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
A=\(\frac{4}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14\)
=\(\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(1)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) =>A\(\ge\)2+3.4+14=28
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=\(\frac{1}{2}\)
A=\(\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+\frac{3}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)+14
Áp dụng bđt Cauchy Schawrz dạng Engel: \(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2ab+a^2+b^2}=\frac{2^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)(1)
Mặt khác áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow1^2\ge4ab\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\ge2+3.4+14=28\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
dăt tinh roi tinh
173,44:32 112,56:28 155,9:15
b 372,96:3 857,5:35 431,25:125
\(B=\frac{ab}{a+b+2}\Rightarrow2B=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Do a ; b không âm , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta có :
\(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2.4}=\sqrt{8}\)
\(\Rightarrow a+b-2\le\sqrt{8}-2\)
\(\Rightarrow2B\le\sqrt{8}-2\Rightarrow B\le\sqrt{2}-1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Do x ; y không âm , \(x^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow\left|x\right|;\left|y\right|\le1\) \(\Rightarrow0\le x;y\le1\)
\(\Rightarrow x\ge x^2;y\ge y^2\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2=1\)
\(x,y\ge0\Rightarrow xy\ge0\)
Ta có : \(A=\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}\)
\(\Rightarrow A^2=5x+4+5y+4+2\sqrt{\left(5x+4\right)\left(5y+4\right)}\)
\(=5\left(x+y\right)+8+2\sqrt{25xy+20y+20x+16}\)
\(\ge5.1+8+2\sqrt{25.0+20.1+16}=13+2.6=25\)
\(\Rightarrow A\ge5\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{matrix}\right.\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
Cách giải khác đây:
Áp dụng bđt bunhia copxki ta có \(A^2\le6\left(a+b+c\right)=6\)vì a+b+c=1
nên \(A\le\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3
Biểu thức cần tối thiểu hóa là:
P=a3−a2+b3−b2cap P equals the fraction with numerator a and denominator 3 minus a squared end-fraction plus the fraction with numerator b and denominator 3 minus b squared end-fraction𝑃=𝑎3−𝑎2+𝑏3−𝑏2Thay a2=2−b2a squared equals 2 minus b squared𝑎2=2−𝑏2 và b2=2−a2b squared equals 2 minus a squared𝑏2=2−𝑎2 vào mẫu số, ta có:
3−a2=3−(2−b2)=1+b23 minus a squared equals 3 minus open paren 2 minus b squared close paren equals 1 plus b squared3−𝑎2=3−(2−𝑏2)=1+𝑏2 3−b2=3−(2−a2)=1+a23 minus b squared equals 3 minus open paren 2 minus a squared close paren equals 1 plus a squared3−𝑏2=3−(2−𝑎2)=1+𝑎2Khi đó biểu thức Pcap P𝑃 trở thành:
P=a1+b2+b1+a2cap P equals the fraction with numerator a and denominator 1 plus b squared end-fraction plus the fraction with numerator b and denominator 1 plus a squared end-fraction𝑃=𝑎1+𝑏2+𝑏1+𝑎2 Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức phụ Xét hiệu giữa Pcap P𝑃 và 111:
P−1=a1+b2+b1+a2−1cap P minus 1 equals the fraction with numerator a and denominator 1 plus b squared end-fraction plus the fraction with numerator b and denominator 1 plus a squared end-fraction minus 1𝑃−1=𝑎1+𝑏2+𝑏1+𝑎2−1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp đánh giá trực tiếp với điều kiện a2+b2=2a squared plus b squared equals 2𝑎2+𝑏2=2. Ta nhận thấy tại điểm rơi a=b=1a equals b equals 1𝑎=𝑏=1 thì P=11+1+11+1=1cap P equals the fraction with numerator 1 and denominator 1 plus 1 end-fraction plus the fraction with numerator 1 and denominator 1 plus 1 end-fraction equals 1𝑃=11+1+11+1=1.
Ta sẽ chứng minh P≥1cap P is greater than or equal to 1𝑃≥1 bằng cách biến đổi:
a1+b2=a−ab21+b2≥a−ab22b=a−ab2the fraction with numerator a and denominator 1 plus b squared end-fraction equals a minus the fraction with numerator a b squared and denominator 1 plus b squared end-fraction is greater than or equal to a minus the fraction with numerator a b squared and denominator 2 b end-fraction equals a minus a b over 2 end-fraction𝑎1+𝑏2=𝑎−𝑎𝑏21+𝑏2≥𝑎−𝑎𝑏22𝑏=𝑎−𝑎𝑏2
Tương tự:
b1+a2≥b−ba2the fraction with numerator b and denominator 1 plus a squared end-fraction is greater than or equal to b minus b a over 2 end-fraction𝑏1+𝑎2≥𝑏−𝑏𝑎2
Cộng hai vế ta được:
P≥a+b−abcap P is greater than or equal to a plus b minus a b𝑃≥𝑎+𝑏−𝑎𝑏
Mặt khác, từ (a+b)2=a2+b2+2ab=2+2abopen paren a plus b close paren squared equals a squared plus b squared plus 2 a b equals 2 plus 2 a b(𝑎+𝑏)2=𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏=2+2𝑎𝑏, ta có ab=(a+b)2−22a b equals the fraction with numerator open paren a plus b close paren squared minus 2 and denominator 2 end-fraction𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)2−22.
Đặt t=a+bt equals a plus b𝑡=𝑎+𝑏. Vì a2+b2=2a squared plus b squared equals 2𝑎2+𝑏2=2 nên 2≤t≤2the square root of 2 end-root is less than or equal to t is less than or equal to 22√≤𝑡≤2.
Khi đó P≥t−t2−22=−t2+2t+22cap P is greater than or equal to t minus the fraction with numerator t squared minus 2 and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator negative t squared plus 2 t plus 2 and denominator 2 end-fraction𝑃≥𝑡−𝑡2−22=−𝑡2+2𝑡+22.
Hàm số f(t)=−t2+2t+22f of t equals the fraction with numerator negative t squared plus 2 t plus 2 and denominator 2 end-fraction𝑓(𝑡)=−𝑡2+2𝑡+22có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2,2]open bracket the square root of 2 end-root comma 2 close bracket[2√,2]tại các đầu mút.
- Tại t=2t equals 2𝑡=2 (tương ứng a=b=1a equals b equals 1𝑎=𝑏=1), f(2)=1f of 2 equals 1𝑓(2)=1.
- Tại t=2t equals the square root of 2 end-root𝑡=2√(tương ứng một số bằng 0), f(2)=2≈1,414>1f of open paren the square root of 2 end-root close paren equals the square root of 2 end-root is approximately equal to 1 comma 414 is greater than 1𝑓(2√)=2√≈1,414>1.
Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của Pcap P𝑃 là 1 khi a=b=1a equals b equals 1𝑎=𝑏=1.rất cảm ơn ý kiến của chị nhưng em có góp ý là cách đó dài và không phù hợp với kiến thức lớp 9