a. Câu này đơn giản em tự giải

b.

Xét hai tam giác OIM và OHN có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OIM}=\widehat{OHN}=90^0\\\widehat{MON}\text{ chung}\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OIM\sim\Delta OHN\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{ON}\Rightarrow OI.ON=OH.OM\)

Cũng từ 2 tam giác đồng dạng ta suy ra \(\widehat{OMI}=\widehat{ONH}\)

Tứ giác OAMI nội tiếp (I và A cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{OMI}\)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{ONH}\) hay \(\widehat{OAI}=\widehat{ONA}\)

c.

Xét hai tam giác OAI và ONA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OAI}=\widehat{ONA}\left(cmt\right)\\\widehat{AON}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAI\sim\Delta ONA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{ON}=\dfrac{OI}{OA}\Rightarrow OI.ON=OA^2=OC^2\) (do \(OA=OC=R\))

\(\Rightarrow\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OI}{OC}\)

Xét hai tam giác OCN và OIC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{OC}{ON}=\dfrac{OI}{OC}\\\widehat{CON}\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OCN\sim\Delta OIC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCN}=\widehat{OIC}=90^0\) hay tam giác ACN vuông tại C

\(\widehat{ABC}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow BC\perp AB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACN với đường cao BC:

\(BC^2=BN.BA=BN.2BH=2BN.BH\) (1)

O là trung điểm AC, H là trung điểm AB \(\Rightarrow OH\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét hai tam giác OHN và EBC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OHN}=\widehat{EBC}=90^0\\\widehat{ONH}=\widehat{ECB}\left(\text{cùng phụ }\widehat{IEB}\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta OHN\sim\Delta EBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{OH}{EB}=\dfrac{HN}{BC}\Rightarrow HN.EB=OH.BC=\dfrac{1}{2}BC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=2HN.EB\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BN.BH=HN.BE\)

\(\Rightarrow BN.BH=\left(BN+BH\right).BE\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BE}=\dfrac{BN+BH}{BN.BH}=\dfrac{1}{BH}+\dfrac{1}{BN}\) (đpcm)

Coi số 4 và số 5 là một số, ta sẽ lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà trong đó có 1 số gồm 2 chữ số là 4 và 5.

Số cách chọn 3 chữ số khác nhau còn lại là: \(C_7^3=35\) (cách)

Số cách xếp 4 số vào 4 vị trí là 4!=24(cách)

Số cách xếp hai chữ số 4 và 5 là 2(cách)

Tổng số cách là: \(35\cdot24\cdot2=1680\) (cách)

Gọi x là độ dài hình chữ nhật

y là độ rộng hình chữ nhật

(x,y>0)

Ta có x+y =25

Theo AGM ta có xy\(\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{625}{4}=156.25\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=12,5

\(A=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{4-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{4-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{2\left(3-\sqrt{5}\right)}{5-\sqrt{5}}=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)+2\left(3-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5+\sqrt{5}\right)}\)

\(=\dfrac{40}{20}=2\)

4c.

Do M là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 

\(\Rightarrow\widehat{OMN}=\widehat{OMB}\)

Mà \(MB||NO\) (cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow\widehat{OMB}=\widehat{MON}\) (so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OMN}=\widehat{MON}\)

\(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại N

\(\Rightarrow MN=ON\)

Cũng theo 2 t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow MA=MB\)

Do MD là tiếp tuyến của (O) tại A \(\Rightarrow OA\perp MD\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OND với đường cao OA:

\(ON^2=NA.ND\Rightarrow MN^2=NA.ND\)

\(\Rightarrow MN^2=\left(MA-MN\right).ND=\left(MB-MN\right).ND\)

\(\Rightarrow MN^2=MB.ND-MN.ND\)

\(\Rightarrow MB.ND-MN^2=MN.ND\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB.ND-MN^2}{MN.ND}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{MB}{MN}-\dfrac{MN}{ND}=1\) (đpcm)

a) Rút gọn A rồi tìm \(x\) để \(A\) đạt GTNN

Nhận xét:

\(x^{2} - 8 x + 16 = \left(\right. x - 4 \left.\right)^{2} \Rightarrow \sqrt{x^{2} - 8 x + 16} = \mid x - 4 \mid = x - 4 \left(\right. v \overset{ˋ}{\imath} x > 4 \left.\right)\)

Xét biểu thức trong ngoặc:

\(\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} = \sqrt{\left(\right. \sqrt{x - 4} + 2 \left.\right)^{2}} , \sqrt{x - 4 \sqrt{x - 4}} = \sqrt{\left(\right. \sqrt{x - 4} - 2 \left.\right)^{2}}\)

⇒ Với \(x > 4\), ta có:

\(\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} = \sqrt{x - 4} + 2 , \sqrt{x - 4 \sqrt{x - 4}} = \mid \sqrt{x - 4} - 2 \mid = \sqrt{x - 4} - 2 \left(\right. v \overset{ˋ}{\imath} \sqrt{x - 4} > 2 \left.\right)\)

⇒ Tổng:

\(\sqrt{x + 4 \sqrt{x - 4}} + \sqrt{x - 4 \sqrt{x - 4}} = \left(\right. \sqrt{x - 4} + 2 \left.\right) + \left(\right. \sqrt{x - 4} - 2 \left.\right) = 2 \sqrt{x - 4}\)

Do đó:

\(A = \frac{x \cdot 2 \sqrt{x - 4}}{x - 4} = \frac{2 x \sqrt{x - 4}}{x - 4} = \frac{2 x}{\sqrt{x - 4}}\)

Xét hàm \(A \left(\right. x \left.\right) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 4}} , \&\text{nbsp}; x > 4\)

Đặt \(t = \sqrt{x - 4} > 0 \Rightarrow x = t^{2} + 4\)

\(A = \frac{2 \left(\right. t^{2} + 4 \left.\right)}{t} = 2 t + \frac{8}{t}\)

Tìm GTNN của hàm \(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t + \frac{8}{t} , \&\text{nbsp}; t > 0\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(2 t + \frac{8}{t} \geq 2 \sqrt{2 t \cdot \frac{8}{t}} = 2 \sqrt{16} = 8\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2t=\frac{8}{t}\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=2\Rightarrow x=t^2+4=8\)

Giải giùm mình nhé

Bài 3:

a: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của BC

Xét ΔBOD có

BI là đường cao

BI là đường trung tuyến

Do đó: ΔBOD cân tại B

=>BO=BD

ma BO=OD

nên BO=BD=OD

=>ΔBOD đều

=>\(\hat{BOD}=\hat{BDO}=\hat{OBD}=60^0\)

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>\(\hat{BAD}+\hat{BDA}=90^0\)

=>\(\hat{BAD}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔAIB vuông tại I và ΔAIC vuông tại I có

AI chung

IB=IC

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

=>AB=AC

ΔAIB=ΔAIC

=>\(\hat{IAB}=\hat{IAC}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

=>\(\hat{BAC}=2\cdot\hat{BAD}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔABC có AB=AC và \(\hat{BAC}=60^0\)

nên ΔABC đều

b: ΔOBD đều

=>BD=OB=R

ΔABD vuông tại B

=>\(BA^2+BD^2=AD^2\)

=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(BA=R\sqrt3\)

=>\(BA=AC=BC=R\sqrt3\)

Bài 2: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{1}{a}<>\frac{a}{1}\)

=>\(a^2<>1\)

=>a∉{1;-1](1)

\(\begin{cases}ax+y=3a\\ x+ay=2a+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=3a-ax\\ x+a\left(3a-ax\right)=2a+1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=3a-a\cdot x\\ x+3a^2-a^2\cdot x=2a+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=3a-ax\\ x\left(1-a^2\right)=2a+1-3a^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{-3a^2+2a+1}{1-a^2}=\frac{3a^2-2a-1}{a^2-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(3a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}=\frac{3a+1}{a+1}\\ y=3a-a\cdot\frac{3a+1}{a+1}=\frac{3a^2+3a-3a^2-a}{a+1}=\frac{2a}{a+1}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì \(\begin{cases}3a+1\vdots a+1\\ 2a\vdots a+1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a+3-2\vdots a+1\\ 2a+2-2\vdots a+1\end{cases}\)

=>-2⋮a+1

=>a+1∈{1;-1;2;-2}

=>a∈{0;-2;1;-3}

Kết hợp (1), ta có: a∈{0;-2;-3}

Bài 3:

ĐKXĐ: x>=y

\(\begin{cases}\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{3}}=14\\ \sqrt{\frac{x+y}{8}}-\sqrt{\frac{x-y}{12}}=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{3}}=14\\ \frac12\left(\sqrt{\frac{x+y}{2}}-\sqrt{\frac{x-y}{3}}\right)=3\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{3}}=14\\ \sqrt{\frac{x+y}{2}}-\sqrt{\frac{x-y}{3}}=6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{x+y}{2}}=10\\ \sqrt{\frac{x-y}{3}}=4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\frac{x+y}{2}=100\\ \frac{x-y}{3}=16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+y=200\\ x-y=48\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{200+48}{2}=\frac{248}{2}=124\\ y=200-124=76\end{cases}\) (nhận)