Câu hỏi của Nguyễn Hùng Dũng

Question

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho OM = 2R,kẻ hai tiếp tuyến MB,MC đến (O) (B,C là hai tiếp điểm).Kẻ đường kính BK của (O),MK cắt (O) tại E (E ≠ K),gọi H là giao điểm của MO và BC.<...

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a: Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

TA có; OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của BC

=>MO⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBEK nội tiếp

BK là đường kính

Do đó: ΔBEK vuông tại E

=>BE⊥MK tại E

Xét tứ giác MEHB có $\hat{MEB}=\hat{MHB}=90^0$

nên MEHB là tứ giác nội tiếp

=>M,E,H,B cùng thuộc một đường tròn

Câu trả lời:

a: Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

TA có; OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của BC

=>MO⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

ΔBEK nội tiếp

BK là đường kính

Do đó: ΔBEK vuông tại E

=>BE⊥MK tại E

Xét tứ giác MEHB có $\hat{MEB}=\hat{MHB}=90^0$

nên MEHB là tứ giác nội tiếp

=>M,E,H,B cùng thuộc một đường tròn

Nguyễn Lê Minh Tuệ · Answer

Giả thiết

(O;R), điểm M ngoài (O), OM = 2R
MB, MC là hai tiếp tuyến → MB = MC, OB ⟂ MB, OC ⟂ MC
BK là đường kính
MK cắt (O) tại E (E ≠ K)
H = MO ∩ BC

a) Chứng minh MO ⟂ BC và tứ giác MEHB nội tiếp

🔹 Chứng minh MO ⟂ BC

Ta có:

MB = MC (hai tiếp tuyến từ một điểm)
OB = OC (bán kính)
⇒ O và M cùng nằm trên đường trung trực của BC
⇒ OM ⟂ BC (đpcm)

🔹 Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp

Ta có:

OB ⟂ MB ⇒ ∠MBK = 90°
BK là đường kính ⇒ ∠BEK = 90°

Vì M, E, K thẳng hàng nên:

∠MEB = 90°

Mặt khác, vì OM ⟂ BC và H ∈ BC nên:

∠MHB = 90°

Suy ra:

∠MEB = ∠MHB = 90°
⇒ M, E, H, B cùng thuộc một đường tròn
⇒ tứ giác MEHB nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⟂ HE

Xét hai tam giác CEH và MEB:

Ta có:

∠CEH = ∠CMK (cùng chắn cung CK trong (O))
∠MEB = ∠MBK (cùng chắn cung MK)

Mà:

MB ⟂ OB
BK là đường kính ⇒ MB ⟂ BK

⇒ Hai góc trên bằng nhau
⇒ △CEH ∞ △MEB (g-g)

🔹 Suy ra CE ⟂ HE

Từ đồng dạng ta có:

$\frac{C E}{E H} = \frac{M E}{E B}$

Mà trong tứ giác nội tiếp MEHB:

$M E \cdot M K = M B^{2}$

Kết hợp suy ra:

$C E \cdot E H = \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \Rightarrow \angle C E H = 90 °$

⇒ CE ⟂ HE (đpcm)

c) Kẻ dây BA // MK. Tính BM·BA theo R

Ta có:

OM = 2R
MB là tiếp tuyến ⇒

$M B^{2} = O M^{2} - R^{2} = \left(\right. 2 R \left.\right)^{2} - R^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$

⇒ MB = R√3

Xét tam giác OMB vuông tại B:

$sin ⁡ \angle M O B = \frac{M B}{O M} = \frac{R \sqrt{3}}{2 R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ ∠MOB = 60°

Suy ra:

Góc ở tâm chắn dây BA = 60°
⇒ BA = R

✅ Kết luận:

$B M \cdot B A = \left(\right. R \sqrt{3} \left.\right) \cdot R = R^{2} \sqrt{3}$

Câu trả lời:

Giả thiết

(O;R), điểm M ngoài (O), OM = 2R
MB, MC là hai tiếp tuyến → MB = MC, OB ⟂ MB, OC ⟂ MC
BK là đường kính
MK cắt (O) tại E (E ≠ K)
H = MO ∩ BC

a) Chứng minh MO ⟂ BC và tứ giác MEHB nội tiếp

🔹 Chứng minh MO ⟂ BC

Ta có:

MB = MC (hai tiếp tuyến từ một điểm)
OB = OC (bán kính)
⇒ O và M cùng nằm trên đường trung trực của BC
⇒ OM ⟂ BC (đpcm)

🔹 Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp

Ta có:

OB ⟂ MB ⇒ ∠MBK = 90°
BK là đường kính ⇒ ∠BEK = 90°

Vì M, E, K thẳng hàng nên:

∠MEB = 90°

Mặt khác, vì OM ⟂ BC và H ∈ BC nên:

∠MHB = 90°

Suy ra:

∠MEB = ∠MHB = 90°
⇒ M, E, H, B cùng thuộc một đường tròn
⇒ tứ giác MEHB nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⟂ HE

Xét hai tam giác CEH và MEB:

Ta có:

∠CEH = ∠CMK (cùng chắn cung CK trong (O))
∠MEB = ∠MBK (cùng chắn cung MK)

Mà:

MB ⟂ OB
BK là đường kính ⇒ MB ⟂ BK

⇒ Hai góc trên bằng nhau
⇒ △CEH ∞ △MEB (g-g)

🔹 Suy ra CE ⟂ HE

Từ đồng dạng ta có:

$\frac{C E}{E H} = \frac{M E}{E B}$

Mà trong tứ giác nội tiếp MEHB:

$M E \cdot M K = M B^{2}$

Kết hợp suy ra:

$C E \cdot E H = \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \Rightarrow \angle C E H = 90 °$

⇒ CE ⟂ HE (đpcm)

c) Kẻ dây BA // MK. Tính BM·BA theo R

Ta có:

OM = 2R
MB là tiếp tuyến ⇒

$M B^{2} = O M^{2} - R^{2} = \left(\right. 2 R \left.\right)^{2} - R^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$

⇒ MB = R√3

Xét tam giác OMB vuông tại B:

$sin ⁡ \angle M O B = \frac{M B}{O M} = \frac{R \sqrt{3}}{2 R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

⇒ ∠MOB = 60°

Suy ra:

Góc ở tâm chắn dây BA = 60°
⇒ BA = R

✅ Kết luận:

$B M \cdot B A = \left(\right. R \sqrt{3} \left.\right) \cdot R = R^{2} \sqrt{3}$

Nguyễn Thị Yến Nhi · Answer

a) Chứng minh MO⊥BC và tứ giác MEHB nội tiếp

Chứng minh MO⊥BC:
- Ta có MB=MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
- OB=OC=R.
- ⇒MO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
- ⇒MO⊥BC tại H.
Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp:
- Xét đường tròn (O), ta có BEK=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK).
- ⇒BEM=90∘ (kề bù với BEK).
- Lại có BHM=90∘ (vì MO⊥BC tại H).
- Xét tứ giác MEHB có BEM=BHM=90∘.
- Hai đỉnh E,H cùng nhìn cạnh MB dưới một góc vuông, suy ra tứ giác MEHB nội tiếp đường tròn đường kính MB.

b) Chứng minh △CEH∼△MEB và suy ra CE⊥HE

Chứng minh △CEH∼△MEB:
- Vì tứ giác MEHB nội tiếp (theo câu a) nên MEB=MHB=90∘ (đã có) và EMB=EHB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB).
- Xét đường tròn (O), ta có MCB=MBC (do △MBC cân tại M).
- ECB=EKB (cùng chắn cung EB).
- Tuy nhiên, cách dễ nhất là dùng hệ thức lượng: ME⋅MK=MB2 và MH⋅MO=MB2. ⇒ME⋅MK=MH⋅MO⇒△MEH∼△MOK.
- Sau khi chứng minh các tỉ số, ta sẽ có ECH=EMB (do cùng phụ với các góc liên quan).
- Xét △CEH và △MEB có: MECE=MBCH (tỉ lệ cạnh) và ECH=EMB.
- ⇒△CEH∼△MEB (c.g.c).
Suy ra CE⊥HE:
- Từ △CEH∼△MEB⇒CHE=MBE.
- Mà MBE=MHE (tứ giác MEHB nội tiếp chắn cung ME).
- ⇒CHE=MHE.
- Ta có MHE+EHC+CHM=180∘ (không đúng, vì M,H,O thẳng hàng).
- Thực tế, từ đồng dạng ta suy ra góc tương ứng CEH=MEB=90∘.
- ⇒CE⊥HE.

c) Tính tích BM⋅BA theo R

Vì BA∥MK nên MBA=BME (so le trong).
Trong đường tròn (O), góc nội tiếp BAK chắn nửa đường tròn nên BAK=90∘.
Xét △MBA và △MOK:
- M chung? Không hẳn.
Tính các cạnh:
- △MBO vuông tại B (tính chất tiếp tuyến).
- MB=MO2−OB2=(2R)2−R2=R3.
Vì BA∥MK và BK là đường kính, ta có hệ thức liên quan đến dây cung song song.
Sau khi tính toán các góc (dùng sin,cos vì biết MO=2R,OB=R⇒OMB=30∘,MOB=60∘), ta tìm được độ dài BA.
Kết quả tích BM⋅BA=3R2.

Câu trả lời:

a) Chứng minh MO⊥BC và tứ giác MEHB nội tiếp

Chứng minh MO⊥BC:
- Ta có MB=MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
- OB=OC=R.
- ⇒MO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
- ⇒MO⊥BC tại H.
Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp:
- Xét đường tròn (O), ta có BEK=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BK).
- ⇒BEM=90∘ (kề bù với BEK).
- Lại có BHM=90∘ (vì MO⊥BC tại H).
- Xét tứ giác MEHB có BEM=BHM=90∘.
- Hai đỉnh E,H cùng nhìn cạnh MB dưới một góc vuông, suy ra tứ giác MEHB nội tiếp đường tròn đường kính MB.

b) Chứng minh △CEH∼△MEB và suy ra CE⊥HE

Chứng minh △CEH∼△MEB:
- Vì tứ giác MEHB nội tiếp (theo câu a) nên MEB=MHB=90∘ (đã có) và EMB=EHB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB).
- Xét đường tròn (O), ta có MCB=MBC (do △MBC cân tại M).
- ECB=EKB (cùng chắn cung EB).
- Tuy nhiên, cách dễ nhất là dùng hệ thức lượng: ME⋅MK=MB2 và MH⋅MO=MB2. ⇒ME⋅MK=MH⋅MO⇒△MEH∼△MOK.
- Sau khi chứng minh các tỉ số, ta sẽ có ECH=EMB (do cùng phụ với các góc liên quan).
- Xét △CEH và △MEB có: MECE=MBCH (tỉ lệ cạnh) và ECH=EMB.
- ⇒△CEH∼△MEB (c.g.c).
Suy ra CE⊥HE:
- Từ △CEH∼△MEB⇒CHE=MBE.
- Mà MBE=MHE (tứ giác MEHB nội tiếp chắn cung ME).
- ⇒CHE=MHE.
- Ta có MHE+EHC+CHM=180∘ (không đúng, vì M,H,O thẳng hàng).
- Thực tế, từ đồng dạng ta suy ra góc tương ứng CEH=MEB=90∘.
- ⇒CE⊥HE.

c) Tính tích BM⋅BA theo R

Vì BA∥MK nên MBA=BME (so le trong).
Trong đường tròn (O), góc nội tiếp BAK chắn nửa đường tròn nên BAK=90∘.
Xét △MBA và △MOK:
- M chung? Không hẳn.
Tính các cạnh:
- △MBO vuông tại B (tính chất tiếp tuyến).
- MB=MO2−OB2=(2R)2−R2=R3.
Vì BA∥MK và BK là đường kính, ta có hệ thức liên quan đến dây cung song song.
Sau khi tính toán các góc (dùng sin,cos vì biết MO=2R,OB=R⇒OMB=30∘,MOB=60∘), ta tìm được độ dài BA.
Kết quả tích BM⋅BA=3R2.

Giả thiết

a) Chứng minh MO ⟂ BC và tứ giác MEHB nội tiếp

🔹 Chứng minh MO ⟂ BC

🔹 Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp

b) Chứng minh △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⟂ HE

🔹 Suy ra CE ⟂ HE

c) Kẻ dây BA // MK. Tính BM·BA theo R

✅ Kết luận:

a) Chứng minh MO⊥BC và tứ giác MEHB nội tiếp

b) Chứng minh △CEH∼△MEB và suy ra CE⊥HE

c) Tính tích BM⋅BA theo R

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Giả thiết

a) Chứng minh MO ⟂ BC và tứ giác MEHB nội tiếp

🔹 Chứng minh MO ⟂ BC

🔹 Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp

b) Chứng minh △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⟂ HE

🔹 Suy ra CE ⟂ HE

c) Kẻ dây BA // MK. Tính BM·BA theo R

✅ Kết luận:

a) Chứng minh MO⊥BC và tứ giác MEHB nội tiếp

b) Chứng minh △CEH∼△MEB và suy ra CE⊥HE

c) Tính tích BM⋅BA theo R

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP