gọi H là điểm tiếp điểm của MN với nữa đường tròn

ta có : OM là tia phân giác của góc AOH (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

ON là tia phân giác của góc BOH (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

mà 2 góc MOH và HON kề bù \(\Rightarrow\) MON = 90⁰

b) AM = HM và BN = HN (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)

nên MN = HM + HN = AM + BN

vậy MN = AM + BN (đpcm)

c) từ (1) ta có : AM.BN = HM.HN

ta lại có : HM HN = OH² = R² (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow\) AM.BN = R² (đpcm)

                                                           bài làm

a, gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến MN 

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

nên ta có: MN=HM=HN=\(\dfrac{1}{2}\)(AOH =HON)=90 độ

vậy góc MON=90 đọ và là tâm giác vuông tại O đường cao OH

b,theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOH2=MH.HNAM.BN=MI.NI=OI^

Vì vậy $AM.BN=MH.NH=\backslash (OH^2\backslash )$=\(R^2\)

Tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

O I 2 = MI.NI

Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)

Suy ra : AM.BN =  O I 2  =  R 2

a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2
)+(x2+x+1)=x2
(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3
-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3
 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3
-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2
-(a+b)c+c2
)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2
-ac-ab+c2
-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2
-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2
(y-z)+y2
(z-x)+z2
(x-y)=x2
(y-z)-y2
((y-z)+(x-y))+z2
(x-y)
=x2
(y-z)-y2
(y-z)-y2
(x-y)+z2
(x-y)=(y-z)(x2
-y2
)-(x-y)(y2
-z2
)=(y-z)(x2
-2y2+xy+xz+yz)

k mk nha $_$
:D

x y M N A O B 1 2 3 4

a) Vì MA , MI là 2tt của đường tròn (O) , nên ^O1 = ^O2 (1)

Vì NB , NI là 2tt của nửa đường tròn (O) , nên ^O3 = ^O4 (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=\widehat{O_1}+\widehat{O_4}=\frac{180^o}{2}=90^o\)

Mà ^MON = 90^o

Vậy : ^MON = 90^o

b) Theo t/c 2tt cắt nhau , ta có :

AM = MI ; NI = NB

MN = MI + IN = AM + BN

Vậy : MN = AM + BN ( đpcm )

c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác trong tam giác OMN vuông tại O , đường cao OI

Ta có : \(OI^2=IM.IN\)

\(\Rightarrow IM.IN=R^2\)( R bán kính )

Mặt khác : MA = MI ; NB = NT

Vậy : AM . BN = R^2 ( đpcm )

A B E F x y M K O

a)\(\hept{\begin{cases}Ax⊥AB\\By⊥AB\end{cases}}\)=> Ax // By.\(\Delta KFB\)có EA // FB nên\(\frac{KF}{KA}=\frac{BF}{AE}\)(hệ quả định lí Ta-lét) mà EA = EM ; FM = FB (tính chất của 2 tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\Delta AEF\)có\(\frac{KF}{KA}=\frac{MF}{ME}\)nên MK // AE (định lí Ta-lét đảo) mà\(AE⊥AB\Rightarrow MK⊥AB\)

b)\(\widehat{EOM}=\frac{\widehat{AOM}}{2};\widehat{FOM}=\frac{\widehat{MOB}}{2}\)(tính chất 2 tiếp tuyến) mà\(\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=180^0\)(kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{FOM}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta EOF\)vuông tại O có OE + OF > EF (bđt tam giác) ; OE + OF < 2EF (vì OE,OF < EF)

\(\Rightarrow1< \frac{OE+OF}{EF}< 2\Rightarrow2< \frac{P_{EOF}}{EF}< 3\Rightarrow\frac{1}{3}< \frac{EF}{P_{EOF}}< \frac{1}{2}\)(1)

Hình thang AEFB (AE // FB) có diện tích là :\(\frac{\left(AE+FB\right).AB}{2}=\frac{\left(EM+FM\right).2R}{2}=EF.R\)

S_AEO = S_MEO vì có đáy OA = OM ; đường cao AE = ME\(\Rightarrow S_{MEO}=\frac{1}{2}S_{AEMO}\) 

S_FOM = S_FOB  vì có đáy FM = FB ; đường cao OM = OB\(\Rightarrow S_{FOM}=\frac{1}{2}S_{MFBO}\)

\(\Rightarrow S_{EOF}=\frac{1}{2}\left(S_{AEMO}+S_{MFBO}\right)=\frac{EF.R}{2}\).Từ tâm đường tròn nội tiếp I của\(\Delta EOF\)kẻ các đường vuông góc với OE,OF,EF thì\(S_{EOF}=S_{EIF}+S_{EIO}+S_{OIF}\)\(\Leftrightarrow\frac{EF.R}{2}=\frac{EF.r+EO.r+OF.r}{2}\)

\(\Rightarrow EF.R=P_{EOF}.r\Rightarrow\frac{r}{R}=\frac{EF}{P_{EOF}}\)(2).Thay (2) vào (1) ta có đpcm.

sao nguyên bài khó thế

bạn god rick giải dài nhưng chưa chắc là đúng

a) Xét tứ giác AOMC có

ˆCAOCAO^ và ˆCMOCMO^ là hai góc đối

ˆCAO+ˆCMO=1800(900+900=1800)CAO^+CMO^=1800(900+900=1800)

Do đó: AOMC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Ta có: AOMC là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên ˆMAO=ˆOCMMAO^=OCM^(hai góc cùng nhìn cạnh OM)

hay ˆMAB=ˆOCDMAB^=OCD^

Xét (O) có

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(Gt)

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm(Gt)

Do đó: OC là tia phân giác của ˆAOMAOM^(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇔ˆAOM=2⋅ˆCOM⇔AOM^=2⋅COM^

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)

Do đó: OD là tia phân giác của ˆMOBMOB^(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇔ˆBOM=2⋅ˆMOD⇔BOM^=2⋅MOD^

Ta có: ˆAOM+ˆBOM=1800AOM^+BOM^=1800(hai góc kề bù) 

mà ˆAOM=2⋅ˆCOMAOM^=2⋅COM^(cmt)

và ˆBOM=2⋅ˆMODBOM^=2⋅MOD^(cmt)

nên 2⋅ˆCOM+2⋅ˆMOD=18002⋅COM^+2⋅MOD^=1800

⇔ˆCOM+ˆMOD=900⇔COM^+MOD^=900

mà ˆCOM+ˆMOD=ˆCODCOM^+MOD^=COD^(tia OM nằm giữa hai tia OC,OD)

nên ˆCOD=900COD^=900

Xét ΔCOD có ˆCOD=900COD^=900(cmt)

nên ΔCOD vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp đường tròn(M,A,B∈(O))

AB là đường kính(gt)

Do đó: ΔMAB vuông tại M(Định lí)

Xét ΔAMB vuông tại M và ΔCOD vuông tại O có

ˆMAB=ˆOCDMAB^=OCD^(cmt)

Do đó: ΔAMB∼ΔCOD(g-g)

⇔AMCO=BMDOAMCO=BMDO(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay AM⋅OD=BM⋅OCAM⋅OD=BM⋅OC(đpcm)

a: Gọi P là giao điểm của MN và (O)

=>OP⊥MN tại P

Xét (O) có

MA,MP là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MP và OM là phân giác của góc AOP

Xét (O) có

NP,NB là các tiếp tuyến

Do đó: NP=NB và ON là phân giác của góc BOP

OM là phân giác của góc AOP

=>\(\hat{AOP}=2\cdot\hat{MOP}\)

ON là phân giác của góc POB

=>\(\hat{POB}=2\cdot\hat{PON}\)

Ta có: \(\hat{AOP}+\hat{POB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOP}+\hat{PON}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{MON}=180^0\)

=>\(\hat{MON}=90^0\)

b: MN=MP+PN

mà MP=MA và NP=NB

nên MA+NB=MN

c: Xét ΔOMN vuông tại O có OP là đường cao

nên \(PM\cdot PN=OP^2\)

=>\(MA\cdot NB=R^2\)