Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{GC}=0-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
\(S=\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}\)
\(0=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2=GA^2+GB^2+GC^2+2S\Rightarrow S=-\dfrac{GA^2+GB^2+GC^2}{2}\)
\(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\\ =\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2+2BC^2+2AC^2-AB^2+2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\right)\\ =\dfrac{AB^2+AC^2+BC^2}{3}=\dfrac{29}{3}\)
\(\Rightarrow S=-\dfrac{29}{6}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow-2\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}\right)=GA^2+GB^2+GC^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}m_a^2+\frac{2}{3}m_b^2+\frac{2}{3}m_c^2\right)\)
\(=-\frac{1}{6}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)
Hình như đề bài sai dấu?
Theo tính chất trọng tâm ta luôn có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\Rightarrow m=n=-1\Rightarrow m+n=-2\)
Theo tính chất trọng tâm tam giác ta luôn có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)
Thế vào đẳng thức giả thiết ta được:
\(BC.\left(-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)+AC.\overrightarrow{GB}+AB.\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\left(AC-BC\right)\overrightarrow{GB}=\left(BC-AB\right)\overrightarrow{GC}\) (1)
Mà \(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\) không phải 2 vecto cùng phương
\(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}AC-BC=0\\BC-AB=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BC\\AB=BC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB=AC=BC\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều
Do tam giác ABC vuông tại A và \(\widehat{B}=30^o\) \(\Rightarrow C=60^o\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=150^o;\)\(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=30^o;\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=120^o\)
\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=90^o;\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=30^o\).Do vậy:
a) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)+\tan\frac{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)}{2}\)
\(=\cos150^o+\sin30^o+\tan60^o\)
\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
b) \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}\right)+\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\sin90^o+\cos30^o+\cos0^o\)
\(=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
Kéo dài AG lấy E sao cho AG=GE
\(2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{IA}\Rightarrow6\overrightarrow{GI}=3\overrightarrow{GA}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{0}\)
khó thí
khó thí
khó thí
lên mạng tra đi :))
Giá trị biểu thúc 1 là 4a^2
Biểu thức 2 là chịu phân số ko gõ được
.
tra AI là ra
ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(AC^2=\left(2a\right)^2-a^2=3a^2\)
=>\(AC=a\sqrt3\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(cosB=\frac{BA}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac12;cosC=\frac{CA}{CB}=\frac{a\sqrt3}{2a}=\frac{\sqrt3}{2}\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AC}=-BA\cdot BC\cdot cosABC-AC\cdot AC\cdot cos0\)
\(=-a\cdot2a\cdot\frac12-AC^2=-a^2-\left(a\sqrt3\right)^2=-4a^2\)
G là trọng tâm của ΔABC
=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}\)
=>\(GA^2+GB^2+2\cdot\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=GC^2\)
=>\(2\cdot\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=GC^2-GA^2-GB^2\) (1)
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GB}\)
=>\(GA^2+GC^2+2\cdot\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}=GB^2\)
=>\(2\cdot\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}=GB^2-GA^2-GC^2\) (2)
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}\)
=>\(GB^2+GC^2+2\cdot\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}=GA^2\)
=>\(2\cdot\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}=GA^2-GB^2-GC^2\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(2\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\right)=GC^2-GA^2-GB^2+GA^2-GB^2-GC^2+GB^2-GA^2-GC^2\)
=>\(2\cdot\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\right)=-\left(GC^2+GB^2+GA^2\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\right)=-\frac12\left(GC^2+GA^2+GB^2\right)\)
Gọi M là giao điểm của AG và BC, D là giao điểm của BG và AC, E là giao điểm của CG và AB
Xét ΔABC có G là trọng tâm
M là giao điểm của AG và BC
Do đó: M là trung điểm của BC
=>\(BM=CM=\frac{BC}{2}=a\)
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
D là giao điểm của BG và AC
Do đó: D là trung điểm của AC
=>\(AD=DC=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
E là giao điểm của CG và AB
Do đó: E là trung điểm của AB
=>\(AE=EB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\)
ΔACE vuông tại A
=>\(AC^2+AE^2=EC^2\)
=>\(EC^2=\left(a\sqrt3\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=3a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{13a^2}{4}\)
ΔABD vuông tại A
=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)
=>\(BD^2=a^2+\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2=a^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{7a^2}{4}\)
ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên \(AM=\frac12BC=\frac{a}{2}\)
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(AG=\frac23AM\)
=>\(AG^2=\frac49AM^2=\frac49\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac49\cdot\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{9}\)
Xét ΔABC có
BD là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(BG=\frac23BD\)
=>\(BG^2=\frac49\cdot BD^2=\frac49\cdot\frac{7a^2}{4}=\frac{7a^2}{9}\)
Xét ΔABC có
CE là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: \(CG=\frac23CE\)
=>\(CG^2=\frac23CE^2=\frac23\cdot\frac{13a^2}{4}=\frac{13a^2}{6}\)
TA có: \(\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\right)=-\frac12\left(GC^2+GA^2+GB^2\right)\)
=>\(\left(\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}\right)=-\frac12\left(\frac{13a^2}{6}+\frac{7a^2}{9}+\frac{a^2}{9}\right)=-\frac12\left(\frac{26}{18}a^2+\frac{16}{18}a^2\right)=-\frac12\cdot\frac{42}{18}a^2=\frac{-42}{36}a^2=-\frac76a^2\)