chịu luôn

Ta có : \(f'\left(x\right)=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+m\left(1-2m\right)\right]=0\)

                      \(\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m\left(1-2m\right)=0\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu => g(x) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(3m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne\frac{1}{3}\)

Thực hiện phép chia f(x) cho g(x) ta  có 

\(f\left(x\right)=\left(2x+m-1\right)g\left(x\right)-\left(3m-1\right)^2x+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)

Với \(m\ne\frac{1}{3}\) thì phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) 

và hàm số :

\(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tại  \(x_1,x_2\) 

Ta có : \(\text{g}\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=0\) nên suy ra

\(y_1=f\left(x_1\right)=-\left(m-3\right)^2x_1+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)

\(y_2=f\left(x_1\right)=-\left(m-3\right)^2x_2+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(\Delta\right)\): \(y=-\left(m-3\right)^2x+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)

Để cực đại , cực tiểu nằm trên đường thẳng (d) : y=-4x thì \(\left(\Delta\right)\equiv\left(d\right)\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\left(3m-1\right)^2=-4\\m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(3m-1-2\right)\left(3m-1+2\right)=0\\m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Giải:

a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)

Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\) có \(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)

b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)

Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.

Nếu \(m>0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.

Nếu \(m<0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương

Từ hai TH ta có đpcm.

c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)

Kết hợp với định lý Viete:

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)

\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)

j thằng kia 

a á à thằng này láo

\(f'\left(x\right)=6\left[x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)\right]=0\) 

\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)=0\)

Hàm số có cực đại và cực tiểu 

\(\Leftrightarrow g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-3\right)^2>0\)

                                                        \(\Leftrightarrow m\ne3\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(y=f\left(x\right)\) đạt cực trị tai \(x_1,x_2\)

Ta có : \(g\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)=0\) nên suy ra :

\(y_1=f\left(x_1\right)=-\left(m-3\right)^2x_1-\left(m^2-3m+3\right)\)

\(y_1=f\left(x_2\right)=-\left(m-3\right)^2x_2-\left(m^2-3m+3\right)\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu là \(\left(\Delta\right)\) : \(y=-\left(m-3\right)^2x-\left(m^2-3m+3\right)\)

Ta có  \(\left(\Delta\right)\)  song song với đường thẳng \(y=ax+b\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3\\-\left(m-3\right)^2=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne3;a<0\\\left(m-3\right)^2=-a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a<0\\m=\pm\sqrt{a}\end{cases}\)

Vậy : Nếu a<0 thì \(m=3\pm\sqrt{-a}\)

         Nếu \(a\ge0\) thì không tồn tại m thỏa mãn

\(y=x+sin\left(2x\right)\)

\(y'=1+2cos\left(2x\right)\)

\(y'=0\Leftrightarrow1+cos\left(2x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\pi}{3}\\x=\frac{2\pi}{3}\end{cases}}\)vì \(x\in\left(0,\pi\right)\).

\(y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2},y\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(y\left(\frac{\pi}{3}\right)>y\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)ta chọn D. 

Chọn B

B. nhận điểm \(x=\dfrac{-5\pi}{12}\) làm điểm cực tiểu

\(y'=x^2-\left(3m+2\right)x+2m^2+3m+1\)

\(\Delta=\left(3m+2\right)^2-4\left(2m^2+3m+1\right)=m^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{3m+2+m}{2}=2m+1\\x_2=\frac{3m+2-m}{2}=m+1\end{matrix}\right.\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Rightarrow x_1\ne x_2\Rightarrow m\ne0\)

- Nếu \(m>0\Rightarrow2m+1>m+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{CĐ}=m+1\\x_{CT}=2m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3\left(m+1\right)^2=4\left(2m+1\right)\) \(\Rightarrow3m^2-2m-1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{1}{3}< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

- Nếu \(m< 0\Rightarrow m+1>2m+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{CĐ}=2m+1\\x_{CT}=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3\left(2m+1\right)^2=4\left(m+1\right)\Rightarrow12m^2+8m-1=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{-2+\sqrt{7}}{6}>0\left(l\right)\\m=\frac{-2-\sqrt{7}}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sum m=\frac{4-\sqrt{7}}{6}\)

Câu 1:

Ta có: \(y=x^4-2x^2+2\Rightarrow y'=4x^3-4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(A(0;2);B(1;1);C(-1;1)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=\sqrt{(0-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\\ BC=\sqrt{(1--1)^2+(1-1)^2}=2\\ AC=\sqrt{(0--1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vì \(AB^2+AC^2=BC^2\) nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=1\)

Đáp án A

Câu 2:

Để hàm số đạt cực trị tại $x=1$ thì:

\(y'=-3(m^2+5m)x^2+12mx+6=0\) tại $x=1$

hay \(-3(m^2+5m)+12m+6=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m=1; m=-2\)

Với m=1:

Hàm số trở thành:

\(y=-6x^3+6x^2+6x-6\)

\(y'=-18x^2+12x+6=0\Leftrightarrow x=1; x=-\frac{1}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy thỏa mãn

Với m=-2

Hàm trở thành: \(y=6x^3-12x^2+6x-6\)

\(y'=18x^2-24x+6=0\Leftrightarrow x=1; x=\frac{1}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy tại $x=1$ đạt cực tiểu nên không thỏa mãn

Vậy m=1

Đáp án A