Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phân tích bài toán
- Cho hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O.
- Rùa bò từ O → M (trên cạnh AB) → N (trên cạnh DC) → B.
- Yêu cầu: MN \parallel BC và tổng độ dài đường gấp khúc OMNB là nhỏ nhất.
✨ Ý tưởng giải
Ta dùng phương pháp phản xạ để biến bài toán đường gấp khúc thành bài toán đường thẳng:
- Phản xạ điểm B qua cạnh DC → gọi là điểm B'.
- Khi đó, đường đi ngắn nhất từ O đến B qua M và N (với MN \parallel BC) sẽ tương đương với đường thẳng từ O đến B', cắt cạnh AB tại M, và cắt cạnh DC tại N.
📐 Tính toán
- Gọi hệ trục tọa độ sao cho:
- A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a)
- Tâm O có tọa độ \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
- Phản xạ điểm B(a, 0) qua cạnh DC (đường y = a) → ta được B'(a, 2a)
- Đường thẳng OB' có phương trình:
- Tính vector chỉ phương: \vec{OB'} = (a - \frac{a}{2}, 2a - \frac{a}{2}) = \left(\frac{a}{2}, \frac{3a}{2}\right)
- Hệ số góc k = \frac{3a/2}{a/2} = 3
- Phương trình đường thẳng: y - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2})
- Giao điểm với cạnh AB (tức y = 0) → tìm x_M:
- 0 - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2}) \Rightarrow x = \frac{5a}{6}
- → M\left(\frac{5a}{6}, 0\right)
- Giao điểm với cạnh DC (tức y = a) → tìm x_N:
a - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2}) \Rightarrow x = \frac{2a}{3}
- → N\left(\frac{2a}{3}, a\right)
📏 Tính độ dài đường đi
Tổng độ dài đường gấp khúc OMNB = OM + MN + NB
- OM = \sqrt{\left(\frac{5a}{6} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{13}}{6}
- MN = |x_M - x_N| = \left|\frac{5a}{6} - \frac{2a}{3}\right| = \frac{a}{6}
- NB = \sqrt{\left(a - \frac{2a}{3}\right)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{10}}{3}
✅ Kết luận
- Vị trí M\left(\frac{5a}{6}, 0\right), N\left(\frac{2a}{3}, a\right)
- Độ dài đường đi ngắn nhất:
OMNB = \frac{a\sqrt{13}}{6} + \frac{a}{6} + \frac{a\sqrt{10}}{3} = \frac{a}{6}(\sqrt{13} + 1 + 2\sqrt{10})
Bài 1
Gọi x(km/h) là vận tốc của oto thứ nhất
Đk: x>0
Khi đó:
Vì ôtô 2 đến sau ôtô thứ nhất 1 giờ nên thời gian của oto 2 là:5(h)
Vận tốc của oto thứ hai là: x-5(km/h)
Quãng đường oto 1 là: 4x(km)
Quãng đường ôtô 2 là: 5(x-5) (km)
=> Ta có PT:4x=5(x-5)
Giải PT:4x=5(x-5)
<=> 4x-5x=-25
<=> -x=-25
<=> x=25(N)
Vậy quãng đường AB là: 4.25=100(km)
Bài 2
a)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MBN\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{M}=90^o\)
\(\widehat{B}\)là góc chung
\(\Rightarrow\Delta ABC\)đồng dạng với \(\Delta MBN\left(g.g\right)\)
b)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta MDC\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{M}=90^o\)
\(\widehat{C}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta MDC\left(g.g\right)\)
\(\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\) ❏