Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách 1:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} ;\\\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BG} = - \overrightarrow b + \overrightarrow {BG} ;\end{array}\)(*)
Lại có: \(\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b \).
\(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BD} \) cùng phương và \(\left| {\overrightarrow {BG} } \right| = \frac{2}{3}BO = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AG} = \overrightarrow a + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\\\overrightarrow {CG} = -\overrightarrow b + \overrightarrow {BG} = -\overrightarrow b + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b ;\end{array} \right.\)
Vậy \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)
Cách 2:
Gọi AE, CF là các trung tuyến trong tam giác ABC.
Ta có:
\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] \\= \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)
\(\overrightarrow {CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CF} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right) = \frac{1}{3}\left( { - 2\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b \)
Vậy \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)
A B C D O M N
a)
Các véc tơ cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) là:
\(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{OM};\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NM};\overrightarrow{NO};\overrightarrow{ON};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AB}\).
Hai véc tơ cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\) là:
\(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{ON}\).
Hai véc tơ ngược hướng với \(\overrightarrow{AB}\) là:
\(\overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON}\).
b) Một véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow{MO}\) là: \(\overrightarrow{ON}\).
Một véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow{OB}\) là: \(\overrightarrow{DO}\).
Lời giải:
** Điểm G không có vai trò gì trong bài toán
\(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DI}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\)
\(=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
a: I là trung điểm của BC
=>\(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}=\frac12\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}\)
\(=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}+\frac12\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\)
\(=-\frac12\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\)
b: Gọi H là trung điểm của CD
Xét ΔICD có
IH là đường trung tuyến
G là trọng tâm
Do đó: I,G,H thẳng hàng và \(\overrightarrow{IG}=\frac23\cdot\overrightarrow{IH}\)
Xét ΔIDC có IH là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{IH}=\frac12\left(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IC}\right)\)
\(=-\frac12\left(\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{CI}\right)\)
\(=-\frac12\left(-\frac12\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{CB}\right)=-\frac12\left(-\frac12\cdot\overrightarrow{AD}+\frac12\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)=-\frac12\left(-\frac12\overrightarrow{AD}-\frac12\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=-\frac12\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)=\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\)
=>\(\overrightarrow{IG}=\frac23\cdot\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac13\cdot\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}\right)=\frac13\cdot\overrightarrow{BD}\)
\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IG}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BC}+\frac13\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}\right)=\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BC}+\frac13\cdot\overrightarrow{BC}-\frac13\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(=\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac56\cdot\overrightarrow{BC}\)