1a/IM vuông góc AB=>AMI=90 do

IN vuông góc AC=>ANI=90 do

△ABC vuông tại A=>BAC=90 do

=>góc AMI= gocANI= gocBAC= 90 do => tứ giác AMIN là hình chữ nhật

1b/Có I dx vs D qua N => ID là đường trung trực của AC=>AI=AD; IC=ID(1)

Trong △ABC có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC =>AI=1/2BC hay AI=IC(2)

Từ (1) va (2) => AI=IC=CD=DA => Tu giac AICD la hthoi

2a/ Có M là TĐ AB và M là điểm đối xứng giữa E và H

=> AM=MB VA EM=MH hay AB giao voi EH tai TD M

=> Tg AEBH la hbh co AHB=90 do => Hbh AEBH la hcn

2b/Co AEBH la hcn=>EH=AB

+) Mà AB=AC=>EH=AC(1)

+) △ABC cân tại A có AH là đường cao đồng thời phân giác của góc BAC => góc BAH=góc HAC.

Co goc BAH=1/2 EAH ; góc AHE=1/2AHB

Ma goc EAH= goc AHB=>BAH=AHE hay goc HAC= goc AHE.

Mà 2 góc này ở vị trí SLT=> EH//AC(2)

Từ (1) va (2)=>tg AEHC la hbh

a) Xét tứ giác AMIN có:

∠(MAN) = ∠(ANI) = ∠(IMA) = 90o

⇒ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

b) ΔABC vuông có AI là trung tuyến nên AI = IC = BC/2

do đó ΔAIC cân có đường cao IN đồng thời là đường trung tuyến

⇒ NA = NC.

Mặt khác ND = NI (t/c đối xứng) nên ADCI là hình bình hành

Lại có AC ⊥ ID (gt). Do đó ADCI là hình thoi.

c) Ta có: AB2 = BC2 – AC2 (định lí Py-ta-go)

= 252 – 202 ⇒ AB = √225 = 15 (cm)

Vậy SABC = (1/2).AB.AC = (1/2).15.20 = 150 (cm2)

d) Kẻ IH // BK ta có IH là đường trung bình của ΔBKC

⇒ H là trung điểm của CK hay KH = HC (1)

Xét ΔDIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (BK // IH)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DK = KH = HC ⇒ DK/DC= 1/3.

a: Xét tứ giác ADCH có

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của HD

Do đó: ADCH là hình bình hành

mà \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên ADCH là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ADHE có

HE//AD

HE=AD
Do đó:ADHE là hình bình hành

a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K

a) Tứ giác ACKH có:

I là trung điểm của AK (gt)

I là trung điểm của HC (gt)

⇒ ACKH là hình bình hành

⇒ AC // HK

b) Do HM ⊥ AB (gt)

⇒ ∠AMH = 90⁰ (1)

Do HN ⊥ AC (gt)

⇒ ∠ANH = 90⁰ (2)

Do ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ ∠BAC = 90⁰

⇒ ∠MAN = 90⁰ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰

Tứ giác AMHN có:

∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰ (cmt)

⇒ AMHN là hình chữ nhật

⇒ AN = HM

Xét hai tam giác vuông: ∆ANH và ∆MHN có:

AN = HM (cmt)

HN là cạnh chung

⇒ ∆ANH = ∆MHN (hai cạnh góc vuông)

⇒ ∠HAN = ∠HMN (hai góc tương ứng)

⇒ ∠HAC = ∠HMN

⇒ ∠HAC = ∠KMN (4)

Do ACKH là hình bình hành (cmt)

⇒ ∠HAC = ∠HKC

⇒ ∠HAC = ∠MKC (5)

Từ (4) và (5) suy ra ∠KMN = ∠MKC

Do AC // KH (cmt)

⇒ NC // KM

Tứ giác MNCK có:

NC // KM (cmt)

⇒ MNCK là hình thang

Mà ∠KMN = ∠MKC (cmt)

⇒ MNCK là hình thang cân

c) Do O là giao điểm của MN và AH (gt)

AMHN là hình chữ nhật (cmt)

⇒ O là trung điểm của AH

∆AHC có:

I là trung điểm của HC (gt)

⇒ AI là đường trung tuyến của ∆AHC (6)

O là trung điểm của AH (cmt)

⇒ CO là đường trung tuyến của ∆AHC (7)

D là giao điểm của CO và AK (gt)

⇒ D là giao điểm của CO và AI (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra D là trọng tâm của ∆AHC

Do I là trung điểm của AK (gt)

⇒ AK = 2AI

Hay AK = 3AD