dễ

làm hộ

Xét phương trình

\(2 x^{2} + 3 y^{2} + 2 x y - 10 x + 15 = 0.\)

Coi phương trình là bậc hai theo \(x\):

\(2 x^{2} + \left(\right. 2 y - 10 \left.\right) x + \left(\right. 3 y^{2} + 15 \left.\right) = 0.\)

Để phương trình có nghiệm, ta có

\(\Delta = \left(\right. 2 y - 10 \left.\right)^{2} - 8 \left(\right. 3 y^{2} + 15 \left.\right) = - 20 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} \geq 0.\)

Suy ra

\(y + 1 = 0 \Rightarrow y = - 1.\)

Thay \(y = - 1\) vào phương trình ban đầu:

\(2 x^{2} - 12 x + 18 = 0 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 9 = 0 \Rightarrow \left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} = 0.\)

Do đó \(x = 3\).

Kết luận:

\(\left(\right. x , \textrm{ }\textrm{ } y \left.\right) = \left(\right. 3 , \textrm{ } - 1 \left.\right) .\)

Ta có:

2x² + 3y² + 2xy - 10x + 15 = 0

Biến đổi:

2x² + 2xy + y² + 2y² - y² - 10x + 15 = 0

(x + y)² + (x² + 2y² - 10x + 15) = 0

Hoàn thành bình phương:

x² - 10x + 15 = (x - 5)² - 10

Suy ra:

(x + y)² + (x - 5)² + 2y² - 10 = 0

Đặt x = 5 + a:

a² + (a + y + 5)² + 2y² = 10

Khai triển và rút gọn được:

2(x - 3)² + 2(x + y - 3)² + y² = 3

Vì các bình phương đều không âm nên thử các giá trị nguyên nhỏ.

Thay y = -1:

2x² - 2x + 18 = 10x

2x² - 12x + 18 = 0

x² - 6x + 9 = 0

(x - 3)² = 0

x = 3

Kiểm tra:

2·3² + 3·(-1)² + 2·3·(-1) - 10·3 + 15

= 18 + 3 - 6 - 30 + 15

= 0

Vậy nghiệm là:

x = 3, y = -1.

Giải thích: Biến đổi về tổng các bình phương và kiểm tra cho thấy cặp số duy nhất thỏa mãn là (3; -1).