Ta chứng minh M, H, D, N cùng nằm trên một đường tròn.

1. Phân tích hình học △ 𝐴 𝐵 𝐶 △ABC vuông tại A ⇒

𝐴 𝐵 ⊥ 𝐴 𝐶 AB⊥AC 𝐴 𝐻 AH là đường cao ⇒

𝐴 𝐻 ⊥ 𝐵 𝐶 , 𝐻 ∈ 𝐵 𝐶 AH⊥BC,H∈BC 𝐴 𝐷 AD là phân giác trong của ∠ 𝐻 𝐴 𝐶 ∠HAC ⇒

∠ 𝐻 𝐴 𝐷

∠ 𝐷 𝐴 𝐶 ∠HAD=∠DAC Phân giác trong của ∠ 𝐴 𝐵 𝐶 ∠ABC cắt:

𝐴 𝐻 AH tại 𝑀 M

𝐴 𝐷 AD tại 𝑁 N

1. Chiến lược chứng minh Ta sẽ chứng minh:

∠ 𝑀 𝐻 𝑁

∠ 𝑀 𝐷 𝑁 ∠MHN=∠MDN hoặc tương đương:

∠ 𝑀 𝐻 𝐷

∠ 𝑀 𝑁 𝐷 ∠MHD=∠MND Chỉ cần chỉ ra hai góc cùng chắn một cung ⇒ tứ giác nội tiếp.

1. Các bước chứng minh 🔹 Bước 1: Xét tam giác 𝐴 𝐵 𝐶 ABC Vì △ 𝐴 𝐵 𝐶 △ABC vuông tại A nên:

∠ 𝐻 𝐴 𝐶

90 ∘ ∠HAC=90 ∘

Mà 𝐴 𝐷 AD là phân giác của ∠ 𝐻 𝐴 𝐶 ∠HAC, suy ra:

∠ 𝐻 𝐴 𝐷

∠ 𝐷 𝐴 𝐶

45 ∘ ∠HAD=∠DAC=45 ∘

🔹 Bước 2: Xét vai trò của phân giác tại B Gọi 𝐵 𝐼 BI là phân giác của ∠ 𝐴 𝐵 𝐶 ∠ABC ⇒ 𝐵 𝐼 BI tạo với 𝐵 𝐴 BA và 𝐵 𝐶 BC các góc bằng nhau.

Do:

𝑀

𝐵 𝐼 ∩ 𝐴 𝐻 M=BI∩AH

𝑁

𝐵 𝐼 ∩ 𝐴 𝐷 N=BI∩AD

nên:

∠ 𝑀 𝐵 𝐻

∠ 𝑀 𝐵 𝐶

∠ 𝐴 𝐵 𝑀 ∠MBH=∠MBC=∠ABM và

∠ 𝑁 𝐵 𝐻

∠ 𝑁 𝐵 𝐶 ∠NBH=∠NBC 🔹 Bước 3: Chứng minh hai góc bằng nhau Xét hai tam giác:

△ 𝑀 𝐻 𝐷 △MHD

△ 𝑀 𝑁 𝐷 △MND

Ta có:

∠ 𝑀 𝐻 𝐷

90 ∘ − ∠ 𝑀 𝐵 𝐻 ∠MHD=90 ∘ −∠MBH

∠ 𝑀 𝑁 𝐷

90 ∘ − ∠ 𝑁 𝐵 𝐻 ∠MND=90 ∘ −∠NBH

Mà:

∠ 𝑀 𝐵 𝐻

∠ 𝑁 𝐵 𝐻 ∠MBH=∠NBH (vì cùng nằm trên phân giác góc 𝐴 𝐵 𝐶 ABC)

⇒

∠ 𝑀 𝐻 𝐷

∠ 𝑀 𝑁 𝐷 ∠MHD=∠MND 4. Kết luận Vì:

∠ 𝑀 𝐻 𝐷

∠ 𝑀 𝑁 𝐷 ∠MHD=∠MND nên bốn điểm 𝑀 , 𝐻 , 𝐷 , 𝑁 M,H,D,N cùng nằm trên một đường tròn.

✅ Kết luận cuối cùng: 𝑀 𝐻 𝑁 𝐷  l a ˋ  tứ gi a ˊ c nội ti e ˆ ˊ p MHND l a ˋ  tứ gi a ˊ c nội ti e ˆ

ˊ p ​

Gọi ∠ABC = B.

Vì △ABC vuông tại A nên:

∠HAC = ∠ABC = B

AD là phân giác của ∠HAC nên:

∠DAC = B/2

BN là phân giác của ∠ABC nên:

∠ABN = ∠NBC = B/2

Do N thuộc AD nên:

∠NAC = ∠DAC = B/2

Suy ra:

∠ABN = ∠NAC

Vậy tứ giác ABNA nội tiếp.

Suy ra:

∠ANB = ∠AAB = 90°

Do B, N, M thẳng hàng nên:

∠MNA = 90°

Lại có H, M, A thẳng hàng nên:

∠MHD = ∠AHD

Mà AH ⊥ BC nên:

∠AHD = 90°

Suy ra:

∠MHD = 90°

Vậy:

∠MHD = ∠MND = 90°

Hai góc này cùng chắn đoạn MD.

Suy ra M, H, D, N cùng nằm trên một đường tròn.

Vậy MHDN là tứ giác nội tiếp.

Giải thích, chỉ cần chứng minh hai góc đối của tứ giác MHDN cùng bằng 90° thì tổng bằng 180°, do đó tứ giác nội tiếp.