Hơi phân vân 1 xíu về đề bài, đề hỏi thế này nghĩa là hàm cần đạt cả 2 điều: 1. Tồn tại GTNN trên toàn miền R (global minimum) 2. \(\min\limits_Rf\left(x\right)\ge-3\) đúng ko?

Hàm số đã cho xác định trên R nên liên tục trên R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+m}{\sqrt{2x^2+3}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x+m}{\sqrt{2x^2+3}}=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

\(f'\left(x\right)=\frac{2\sqrt{2x^2+3}-\frac{2x\left(2x+m\right)}{\sqrt{2x^2+3}}}{2x^2+3}=\frac{6-2mx}{\left(2x^2+3\right)\sqrt{2x^2+3}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm nên \(f\left(x\right)\) có tối đa 1 cực trị

- Với \(m>0\Rightarrow f\left(x\right)\) chỉ có cực đại, ko có cực tiểu nên không tồn tại GTNN

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\) hàm ko tồn tại GTNN

- Với \(m< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=\frac{3}{m}\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng thời đạt min trên R tại \(x=\frac{3}{m}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{3}{m}\right)=-\frac{m^2+6}{\sqrt{3m^2+18}}\ge-3\)

\(\Leftrightarrow m^2+6\le3\sqrt{3m^2+18}\)

\(\Leftrightarrow m^4-15m^2-126\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2\le21\Rightarrow-\sqrt{21}< m< 0\)

Kết hợp các trường hợp và lấy m nguyên ta được \(-4\le m< 0\)

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn (nếu chỉ cần tìm m sao cho \(f\left(x\right)\ge-3;\forall x\in R\) thì có 15 giá trị nguyên)

lim​2x2+3​2x+m​=2​2​=2​

\(\underset{x \rightarrow - \infty}{lim ⁡} \frac{2 x + m}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} = \frac{2}{- \sqrt{2}} = - \sqrt{2}\)

\(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{2 \sqrt{2 x^{2} + 3} - \frac{2 x \left(\right. 2 x + m \left.\right)}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}}{2 x^{2} + 3} = \frac{6 - 2 m x}{\left(\right. 2 x^{2} + 3 \left.\right) \sqrt{2 x^{2} + 3}}\)

\(\Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) có tối đa 1 nghiệm nên \(f \left(\right. x \left.\right)\) có tối đa 1 cực trị

- Với \(m > 0 \Rightarrow f \left(\right. x \left.\right)\) chỉ có cực đại, ko có cực tiểu nên không tồn tại GTNN

- Với \(m = 0 \Rightarrow f \left(\right. x \left.\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\) hàm ko tồn tại GTNN

- Với \(m < 0 \Rightarrow f \left(\right. x \left.\right)\) đạt cực tiểu tại \(x = \frac{3}{m}\) \(\Rightarrow f \left(\right. x \left.\right)\) đồng thời đạt min trên R tại \(x = \frac{3}{m}\)

\(\Rightarrow f \left(\left(\right. x \left.\right)\right)_{m i n} = f \left(\right. \frac{3}{m} \left.\right) = - \frac{m^{2} + 6}{\sqrt{3 m^{2} + 18}} \geq - 3\)

\(\Leftrightarrow m^{2} + 6 \leq 3 \sqrt{3 m^{2} + 18}\)

\(\Leftrightarrow m^{4} - 15 m^{2} - 126 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow m^{2} \leq 21 \Rightarrow - \sqrt{21} < m < 0\)

Kết hợp các trường hợp và lấy m nguyên ta được \(- 4 \leq m < 0\)

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn (nếu chỉ cần tìm m sao cho \(f \left(\right. x \left.\right) \geq - 3 ; \forall x \in R\) thì có 15 giá trị nguyên)

Lần sau bạn chú ý đặt bài toán đúng mục toán THCS. 

Lời giải:

$f(x)=(2^x-1)(x^2+2x-3)=0$

$\Leftrightarrow (2^x-1)(x-1)(x+3)=0$

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 2^x-1=0\\ x-1=0\\ x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=1\\ x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức $f(x)$ có 3 nghiệm nguyên $x=0; x=1; x=-3$

Chọn \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

\(2f\left(x^2\right)+f'\left(x\right)=2x^6+7x^2+2\)

\(\Leftrightarrow2x^6+2ax^4+2bx^2+c+3x^2+2ax+b=2x^6+7x^2+2\)

\(\Leftrightarrow2ax^4+\left(2b+3\right)x^2+2ax+b+c=7x^2+2\)

Đồng nhất 2 vế ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\2b+3=7\\b+c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c=0\\b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+2x\Rightarrow f\left(1\right)=3\)

a) y = f(x) = x³ – 3mx² + 3(2m-1)x + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x² -6mx + 3(2m-1) = 3(x² – 2mx + 2m – 1)

Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R

⇔ x² – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = m² – 2m + 1 = (m-1)² ≤ 0 ⇔ m =1

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (m-1)² > 0 ⇔ m≠1

c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x

⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0

Câu 1: Xét trên miền [1;4]

Do \(f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f'\left(x\right)\ge0\)

\(x\left(1+2f\left(x\right)\right)=\left[f'\left(x\right)\right]^2\Leftrightarrow x=\frac{\left[f'\left(x\right)\right]^2}{1+2f\left(x\right)}\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\sqrt{x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)dx}{\sqrt{1+2f\left(x\right)}}=\int\sqrt{x}dx\Leftrightarrow\int\left(1+2f\left(x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(f\left(x\right)\right)=\int x^{\frac{1}{2}}dx\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\)

Do \(f\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{1+2.\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.1\sqrt{1}+C\Rightarrow C=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+2f\left(x\right)}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\)

Đến đây có thể bình phương chuyển vế tìm hàm \(f\left(x\right)\) chính xác, nhưng dài, thay luôn \(x=4\) vào ta được:

\(\sqrt{1+2f\left(4\right)}=\frac{2}{3}4.\sqrt{4}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}\Rightarrow f\left(4\right)=\frac{\left(\frac{20}{3}\right)^2-1}{2}=\frac{391}{18}\)

Câu 2:

Diện tích hình phẳng cần tìm là hai miền đối xứng qua Oy nên ta chỉ cần tính trên miền \(x\ge0\)

Hoành độ giao điểm: \(sinx=x-\pi\Rightarrow x=\pi\)

\(S=2\int\limits^{\pi}_0\left(sinx-x+\pi\right)dx=4+\pi^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a+b^3=9\)

\(\int f\left(4x\right)dx=\frac{1}{4}\int f\left(4x\right)d\left(4x\right)=\frac{1}{16}\left(4x\right)^2+\frac{3}{4}\left(4x\right)+C\)

\(\Rightarrow\int f\left(4x\right)d\left(4x\right)=\frac{1}{4}\left(4x\right)^2+3.\left(4x\right)+C\)

\(\Rightarrow\int f\left(x+2\right)dx=\int f\left(x+2\right)d\left(x+2\right)=\frac{1}{4}\left(x+2\right)^2+3\left(x+2\right)+C\)

\(=\frac{1}{4}x^2+4x+C\)

mình cám ơn nhiều nha

9.

\(f\left(x\right)=F'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c\)

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=2\\f\left(2\right)=3\\f\left(3\right)=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a.1+2b.1+c=2\\3a.2^2+2b.2+c=3\\3a.3^2+2b.3+c=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2b+c=2\\12a+4b+c=3\\27a+6b+c=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=\frac{1}{2}\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+x+1\)

10.

\(F\left(x\right)=\int\frac{x-2}{x^3}dx=\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)dx=\int\left(x^{-2}-2x^{-3}\right)dx\)

\(=-1.x^{-1}+x^{-2}+C=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+C\)

\(F\left(-1\right)=3\Leftrightarrow1+1+C=3\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+1\)

4.

\(\int\left(x^3-\frac{3}{x^2}+2^x\right)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{x}+\frac{2^x}{ln2}+C\)

5.

\(\int e^{2019x}dx=\frac{1}{2019}\int e^{2019x}d\left(2019x\right)=\frac{1}{2019}e^{2019x}+C\)

6.

\(\int sin2018x.dx=\frac{1}{2018}\int sin2018x.d\left(2018x\right)=-\frac{1}{2018}cos2018x+C\)

7.

\(\int\frac{x^2-x+1}{x-1}dx=\int\left(\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\int\left(x+\frac{1}{x-1}\right)dx=\frac{1}{2}x^2+ln\left|x-1\right|+C\)

8.

\(F\left(x\right)=\int\left(2x+1\right)^3dx=\frac{1}{2}\int\left(2x+1\right)^3d\left(2x+1\right)=\frac{1}{8}\left(2x+1\right)^4+C\)

\(F\left(\frac{1}{2}\right)=4\Leftrightarrow\frac{1}{8}\left(2.\frac{1}{2}+1\right)^4+C=4\Rightarrow C=2\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{8}\left(2x+1\right)^4+2\Rightarrow F\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{8}4^4+2=34\)