làm kiến thức lớp 7 nha mn

vẽ hình xong làm th,lớp5 còn bt

Bước 1: Dùng tọa độ

Để dễ chứng minh, ta đặt các điểm trên hệ trục tọa độ:

• Gọi \(B\) tại gốc tọa độ \(B \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Gọi \(C\) trên trục \(x\), \(C \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\) (vì \(B C = 2 A B\))
• Gọi \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\), vậy \(A B = a\), \(B C = 2 a\) thỏa mãn \(B C = 2 A B\).

Bước 2: Tìm tọa độ các điểm M và D

• \(M\) là trung điểm \(B C\) →

\(M = \left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \frac{0 + 0}{2} \left.\right) = \left(\right. a , 0 \left.\right)\)

• \(D\) là trung điểm \(B M\) →

\(D = \left(\right. \frac{0 + a}{2} , \frac{0 + 0}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , 0 \left.\right)\)

Bước 3: Tính độ dài \(A C\) và \(A D\)

• \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\), \(C \left(\right. 2 a , 0 \left.\right)\) →

\(A C = \sqrt{\left(\right. 2 a - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - a \left.\right)^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + a^{2}} = \sqrt{5 a^{2}} = a \sqrt{5}\)

• \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\), \(D \left(\right. \frac{a}{2} , 0 \left.\right)\) →

\(A D = \sqrt{\left(\left(\right. \frac{a}{2} - 0 \left.\right)\right)^{2} + \left(\right. 0 - a \left.\right)^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = \sqrt{\frac{5 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}\)

Bước 4: So sánh \(A C\) và \(A D\)

\(A C = a \sqrt{5} = 2 \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2} = 2 A D\)

✅ Vậy chứng minh được:

\(\boxed{A C = 2 A D}\)

Ta có: D là trung điểm của BM

=>\(BD=\frac12BM=\frac14BC\)

=>\(BD\cdot BC=\frac14BC\cdot BC=\frac14BC^2=\left(\frac12BC\right)^2=BA^2\)

=>\(\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BA}\)

Xét ΔBAC và ΔBDA có

\(\frac{BA}{BD}=\frac{BC}{BA}\)

góc ABC chung

Do đó: ΔBAC~ΔBDA

=>\(\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BA}=2\)

=>AC=2AD

Ta có:
BC = 2AB

M là trung điểm BC ⇒ BM = MC = AB

D là trung điểm BM ⇒ BD = DM = AB/2

Xét tam giác ABC, đặt AB = a ⇒ BC = 2a

Vì M là trung điểm BC ⇒ BM = a

D là trung điểm BM ⇒ BD = a/2

Xét đoạn AC:

Ta có B, M, C thẳng hàng nên dùng tính chất trung điểm:

CM = a, BM = a

Xét tam giác ABM và tam giác CBD theo hướng trung tuyến:
ta suy ra D là điểm chia trung tuyến theo tỉ lệ phù hợp nên AD = a/2? (cần chứng minh hình học vectơ hoặc tọa độ)

Cách chuẩn:

Đặt B(0,0), C(2a,0)
⇒ M(a,0)
⇒ D(a/2,0)

Gọi A(x,y)

AC² = (x-2a)² + y²

AD² = (x - a/2)² + y²

Ta chứng minh AC = 2AD:

AC² = 4AD²
⇔ (x-2a)² + y² = 4[(x-a/2)² + y²]

Khai triển:
x² - 4ax + 4a² + y² = 4(x² - ax + a²/4 + y²)

= 4x² - 4ax + a² + 4y²

Rút gọn hai vế:

x² + y² + 4a² = 4x² + a² + 4y²

⇔ 3x² + 3y² = 3a²

⇔ x² + y² = a²

Suy ra AB = a = √(x² + y²)

Vậy điều kiện đúng dẫn đến AC = 2AD.

Kết luận: AC = 2AD (đpcm), vì khi đặt tọa độ phù hợp và dùng tính chất trung điểm trên BC ta thu được tỉ lệ bình phương hai đoạn bằng nhau theo hệ số 4.