Bài 23 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi F là trung điểm của BC , qua F kẻ đường thẳng d vuông góc và BC , đường thẳng d cắt đường thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. a ) Chứng minh : tam giác AED đồng dạng với tam giác PEC b ) Chứng minh , BF.FC = DF.EF c ) Tính BC biết DE = 5cm , EF = 4cm . d ) Gọi K là giao điểm của BE và DC , đường thẳng FK cắt AC tại I. Chứng minh : AC. EI = AE ....
Đọc tiếp
Bài 23 : Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) . Gọi F là trung điểm của BC , qua F kẻ đường thẳng d vuông góc và BC , đường thẳng d cắt đường thẳng AB , AC lần lượt tại D và E.
a ) Chứng minh : tam giác AED đồng dạng với tam giác PEC
b ) Chứng minh , BF.FC = DF.EF
c ) Tính BC biết DE = 5cm , EF = 4cm
. d ) Gọi K là giao điểm của BE và DC , đường thẳng FK cắt AC tại I. Chứng minh : AC. EI = AE . IC
.Bài 26 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ tử H đến AB , AC
a ) Chứng minh : AH = EF
b ) Chứng minh : AB^2 = BH.BC
c ) Chứng minh :tam giác HEF đồng dạng vớ itam giác ABC
d ) Kẻ tìa Bx vuông góc BC , Bx cắt đường thẳng AC tại K. Gọi O là giao điểm của EF và AH . Chứng minh : CO đi qua trung điểm của KB .
Bài 27 : Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ ; AB = 15cm , AC = 20cm , đường phân giác BD cắt đường cao AH tại K.
a ) Tính BC , AD
b ) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB ,
c ) Chứng minh : BH.BD = BK.BA , d ) Gọi M là trung điểm của KD . Kẻ tia Bx song song với AM . Tia Bx cắt tia AH tại J , Chứng minh : HK.AJ = AK.HJ .
a) DE ⟂ AB và DF ⟂ AC nên E, A, F là các hình chiếu của D lên AB, AC.
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ ∠A là góc nhọn, D nằm trên phân giác ∠A.
Theo tính chất phân giác trong tam giác vuông:
AB/AC = EB/EA (tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABE và AFD đồng dạng ACF).
Suy ra AB/EB = AC/EA.
b) O là giao điểm AD và EF.
IE ⟂ EF và IJ nằm trên đường thẳng vuông góc EF tại I ⇒ IE là khoảng cách từ I đến EF.
Ta có BO cắt d tại I ⇒ I là hình chiếu của B lên d.
Tương tự, J là giao điểm d với BC nên IJ là hình chiếu của B lên d theo hướng BC.
Do tam giác BEO và BJO đồng dạng (góc vuông chung, góc tại O chung), ta thu được IE = IJ.
c) N là hình chiếu của E lên BO.
M là hình chiếu của O lên BO.
Xét các tam giác đồng dạng trong cấu hình vuông góc với BO và EF, ta có tỉ số:
DN/DB = DO/DC.
Nhân chéo được DN·DB = DO·DC.
Đặt AB = b, AC = c, b < c, chọn A(0,0), B(b,0), C(0,c). Vì AD là phân giác góc vuông A nên AD có phương trình y = x, đặt D(t,t) với t = bc/(b+c), suy ra E(t,0), F(0,t).
a) EB = b - t = b - bc/(b+c) = b^2/(b+c), EA = t = bc/(b+c)
AB/EB = b : b^2/(b+c) = (b+c)/b
AC/EA = c : bc/(b+c) = (b+c)/b
Vậy AB/EB = AC/EA.
b) EF có phương trình x + y = t, nên đường thẳng d qua E và vuông góc EF có phương trình y = x - t. Tính giao điểm với BO được IE = b^2c√2/[2(b+c)^2], giao điểm với BC được EJ = b^2c√2/(b+c)^2, nên IJ = EJ - IE = IE. Vậy IE = IJ.
c) Gọi N(n,n) thuộc AD. Vì EN vuông góc BO nên tính được n = c(2b+c)/[2(b+c)], do đó DN = (n - t)√2 = c^2√2/[2(b+c)]. Lại có DO = t√2/2 = bc√2/[2(b+c)], theo định lí phân giác trong tam giác ABC có DB/DC = AB/AC = b/c, nên DB = b√(b^2+c^2)/(b+c), DC = c√(b^2+c^2)/(b+c). Khi đó
DO.DC = bc√2/[2(b+c)] . c√(b^2+c^2)/(b+c)
= bc^2√(2b^2+2c^2)/[2(b+c)^2]
DN.DB = c^2√2/[2(b+c)] . b√(b^2+c^2)/(b+c)
= bc^2√(2b^2+2c^2)/[2(b+c)^2]
Vậy DO.DC = DN.DB.