Dưới đây là lời giải siêu gọn, đúng trọng tâm cho từng ý:

Cho: Hình bình hành \(A B C D\),
\(K , I\) là trung điểm của \(A B , C D\);
\(M , N\) là giao điểm của \(A I , C K\) với đường chéo \(B D\).

a) \(A K C I\) là hình bình hành

Vì \(K , I\) là trung điểm \(A B , C D\) ⇒ \(K I \parallel A C\), \(K I = \frac{1}{2} A C\)
Tương tự \(A C \parallel K I\), hai cặp cạnh đối song song ⇒
✅ \(A K C I\) là hình bình hành.

b) \(\angle M A C = \angle N C A\) và \(I M \parallel C N\)

• \(A K C I\) là hình bình hành ⇒ \(A I \parallel C K\)
  ⇒ \(I M \parallel C N\) (do cùng cắt \(B D\))
• Tam giác \(M A C\) và \(N C A\) có chung \(A C\), hai góc bằng nhau ⇒
  ✅ \(\angle M A C = \angle N C A\)

c) \(D M = M N = N B\)

• Do \(A I , C K\) cắt nhau tại trung điểm đường chéo trong hình bình hành, chia \(B D\) thành 3 đoạn bằng nhau
  ⇒ ✅ \(D M = M N = N B\)

d) \(A C , B D , I K\) đồng quy

• \(I K\) nối trung điểm \(A B , C D\) ⇒ là đường trung bình
• Đường chéo \(A C\) cắt \(I K\) tại 1 điểm
• \(B D\) cũng cắt tại điểm đó (do đối xứng trung điểm)
  ⇒ ✅ \(A C , B D , I K\) đồng quy

Xong! Gọn – đủ – đúng 😎
Cần vẽ hình không?

a: Ta có: \(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

\(DI=IC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=DC

nên AK=KB=DI=IC

Xét tứ giác AKCI có

AK//CI

AK=CI

Do đó: AKCI là hình bình hành

b: Ta có: AKCI là hình bình hành

=>AI//CK

=>\(\hat{IAC}=\hat{KCA}\)

=>\(\hat{MAC}=\hat{NCA}\)

AI//CK

=>IM//CN

c: Xét ΔDNC có

I là trung điểm của DC

IM//NC

Do đó: M là trung điểm của DN

=>DM=MN

Xét ΔABM có

K là trung điểm của BA

KN//AM

Do đó: N là trung điểm của BM

=>BN=NM

=>BN=NM=DM

d: Ta có: AKCI là hình bình hành

=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,KI,BD đồng quy

A B C D F E O G H M P N

a) Gọi O là giao điểm của BD và AC

Theo bài ra ta có: \(BE=DF< \frac{BD}{2}\)

=> DF<DO và BF< BO

=> E nằm giữa B và O ;

F nằm giữa D và O

O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD => OB=OD

Theo bài ra : EB = FD

=> OB-EB= OD-FD

=> OF=OE

Xét tứ giác AECF có: O là trung điểm EF ( OE=OF) và O là trung điểm AC ( ABCD là hình bình hành)

=> AECF là hình bình hành

b) G/s: AN =NM=MB => AM=2/3 AB 

=> M là trọng tâm tam giác AGC

mà O là trung điểm AC

=> G; M; O thẳng hàng  (1) 

Gọi H là giao điểm của CM và AG 

=> H là trung điểm AG , 

Lấy P là trung điểm GM

=> HP là đường trung bình của tam giác GAM 

=> HP// = 1/2 AM

=> HP//= MB

=> HPBM là hình bình hành

=> PB//=HM

=> PB //ME 

Xét tam giác OPB có PB//ME ; M là trung điểm OP

=> ME là đường trung bình

=> E là trung điểm OB

Vậy E là trung điểm OB với O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b:ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN  tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MN

Do ABCD là hình bình hành nên AD //BC hay AN//CM

 a) Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD

⇒ AM // CN

Tứ giác AMCN có:

AM // CN (cmt)

AM = CN (gt)

⇒ AMCN là hình bình hành

⇒ AN // CM

b) Do ABCD là hình bình hành (gt)

O là giao điểm của AC và BD (gt)

⇒ O là trung điểm của AC

Lại có AMCN là hình bình hành

O là trung điểm của AC (cmt)

⇒ O là trung điểm của MN

Công thức tính của câu hỏi này phải là: tiền mua áo+tiền mình giữ+tiền đã trả bố mẹ

Tôi nhầm lớp😓

câu A ko vẽ hình dc

Giải:

Vì B là trung điểm của AM nên A, B, M thẳng hàng

Vì C là trung điểm của DN nên D; C; N thẳng hàng.

AB // DC (gt)

⇒ AM // DN (1)

AM = AB x 2 (gt)

DN = DC x 2

AB = DC

⇒ AM = DN (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

AMND là hình bình hành (tứ giác có một cặp đối diện song song và bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Gọi G là giao điểm của AN và DM

AMDN là hình bình hành (cmt)

nên G là trung điểm của AN và DM

AB = BM (gt)

DC = AB (gt)

⇒ BM = DC (tính chất bác cầu) (3)

BM // DC (vì AMND là hình bình hành) (4)

Kết hợp (3) và (4) ta có: BMCD là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau thì đó là hình bình hành)

Gọi K là giao điểm của BC và DM

Thì K là trung điểm của BC và trung điểm của DM (hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

G là trung điểm của DM (cmt)

K là trung điểm của DM (cmt)

Vậy K \(\equiv\) G; Hay trung điểm của ba đường thẳng AN; DM; BC trùng nhau(đpcm)