a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AB=AC
\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{AHB}=\hat{AHC}\)

mà \(\hat{AHB}+\hat{AHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AHB}=\hat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AH⊥BC tại H

b: ΔAHB=ΔAHC

=>HB=HC

=>H là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AH,BD là các đường trung tuyến

AH cắt BD tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(AG=\frac23AH=\frac23\cdot6=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Ta có: HK//AC

=>\(\hat{KHB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{KBH}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{KBH}=\hat{KHB}\)

=>KB=KH

Ta có: HK//AC

=>\(\hat{KHA}=\hat{HAC}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{HAC}=\hat{KAH}\) (AH là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{KHA}=\hat{KAH}\)

=>KH=KA

mà KB=KH

nên KA=KB

=>K là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

K là trung điểm của AB

G là trọng tâm

Do đó: C,G,K thẳng hàng

a) Chứng minh rằng tam giác AHB = tam giác AHC và AH vuông góc với BC

✳️ Dữ kiện:

• Tam giác ABC cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
• \(A H\) là phân giác ⇒ \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)

✳️ Xét 2 tam giác \(\triangle A H B\) và \(\triangle A H C\):

So sánh:

• \(A B = A C\) (do tam giác cân tại A)
• \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)(do \(A H\) là phân giác)
• Cạnh chung: \(A H\)

✅ Suy ra:

\(\triangle A H B = \triangle A H C (\text{c}-\text{g}-\text{c})\)

✳️ Suy ra: \(H B = H C\) và \(\hat{A H B} = \hat{A H C}\)

→ Mà \(H B = H C\), nên \(H\) cách đều \(B\) và \(C\)

⇒ \(A H\) là đường phân giác đồng thời là trung tuyến trong tam giác cân

→ Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với đỉnh cân còn là đường cao

✅ Vậy \(A H \bot B C\)

b) Điểm D là trung điểm của AC, BD cắt AH tại G. Biết AH = 6cm. Tính AG

✳️ Dữ kiện:

• \(D\): trung điểm của \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
• \(\triangle A B C\) cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
• Mà \(D\): trung điểm của \(A C\) ⇒ không đối xứng hoàn toàn, nhưng vẫn đủ điều kiện dùng định lý Menelaus hoặc định lý trọng tâm nếu phù hợp

→ Tuy nhiên, vì:

• \(D\) là trung điểm \(A C\)
• \(A B = A C\) ⇒ \(B\) đối diện với cạnh có điểm trung điểm
• Áp dụng định lý trung tuyến, trong tam giác \(A B C\), khi nối đỉnh \(B\) với trung điểm \(D\) của \(A C\), thì:

\(\text{Giao}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B D \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; A H \&\text{nbsp};(\text{trong}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{AH}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao}) \Rightarrow G \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ọ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \triangle A B C\)

✳️ Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\)

⇒ Trong tam giác, trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ:

\(A G : G H = 2 : 1\)

→ \(A H = A G + G H = 3 p h \overset{ˋ}{\hat{a}} n\)

→ \(A G = \frac{2}{3} \cdot A H = \frac{2}{3} \cdot 6 = \boxed{4 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

c) Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh ba điểm C, G, K thẳng hàng

✳️ Dữ kiện:

• \(H K \parallel A C\), \(K \in A B\)
• G là giao điểm của \(A H\) và \(B D\)
• D là trung điểm của \(A C\)

✳️ Ý tưởng:

Ta sẽ sử dụng định lý Talet hoặc đồng dạng tam giác

✳️ Phân tích:

Vì \(H K \parallel A C\), và \(H \in A H\), \(K \in A B\), nên:

\(\triangle H A K sim \triangle C A C \left(\right. đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{d}ạ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{do}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};-\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c} \left.\right)\)

Mặt khác, trong tam giác \(A B C\), ta có:

• \(D\) là trung điểm của \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\) (đã biết)
• Kẻ \(H K \parallel A C\), cắt \(A B\) tại \(K\)

→ Xét hình thang \(K H C A\), có \(H K \parallel A C\)

Kết luận quan trọng:

• Đường thẳng đi qua \(H\) song song với \(A C\) cắt \(A B\) tại \(K\)
• Khi đó, do cấu trúc cân, trung điểm, trọng tâm → ta có thể chứng minh 3 điểm \(C , G , K\) thẳng hàng bằng định lý Menelaus đảo hoặc dùng tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác

✅ Cách chứng minh gọn:

Trong tam giác cân \(A B C\):

• \(G\): là trọng tâm
• \(D\): trung điểm \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
• \(H K \parallel A C\) ⇒ theo định lý giao tuyến phụ, \(C K\) cắt \(B D\) tại trọng tâm \(G\)

→ Ba điểm \(C , G , K\) thẳng hàng.

✅ Kết luận:

• a) \(\triangle A H B = \triangle A H C\), và \(A H \bot B C\)
• b) \(A G = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• c) \(C , G , K\) thẳng hàng

hi

ai giải bài này hộ cái

Khó quá

A B C H E I M N x

a) Vẽ tia đối của BC là Bx. Gọi giao điểm của BI và CE là M. CE giao AB tại N. 

\(\Delta\)ABC cân tại A. H là trung điểm của BC => AH là đường cao của \(\Delta\)ABC => AH\(⊥\)BC.

 Ta có: ^ABH+^EBx=180⁰-^ABE=90⁰ (1)

\(\Delta\)AHB vuông tại H => ^ABH+^BAH=90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^EBx=^BAH => 180⁰-^EBx=180⁰-^BAH => ^EBC=^BAI

Xét \(\Delta\)ABI và \(\Delta\)BEC:

AB=BE

^BAI=^EBC        => \(\Delta\)ABI=\(\Delta\)BEC (c.g.c) (đpcm)

AI=BC

=> ^BEC=^ABI (2 góc tương ứng) hay ^BEN=^NBM.

\(\Delta\)EBN vuông tại B => ^BEN+^BNE=90⁰. Thay ^BEN=^NBM, ta được:

^NBM+^BNE=90⁰ hay ^NBM+^BNM=90⁰. Xét \(\Delta\)BMN có:

^NBM+^BNM=90⁰ => ^BMN=90⁰ => BI\(⊥\)CE tại M (đpcm).

Câu 1:

Xét tam giác AMB và tam giác AMC ta có:

        AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

        ABM = ACM (tam giác ABC cân tại A)

=> Tam giác AMB = tam giác AMC (ch-gn) (dpcm)

Câu 2:

a) Ta có: +) AK+KB = AB => KB = AB-AK

               +) AH+HC = AC => HC = AC-AH

Mà AB=AC(tam giác ABC cân tại A) ; AK=AH (gt)

=>KB=HC

Xét tam giác BHC và tam giác CKB ta có:

          HC=KB (cmt)

          HCB=KBC (tam giác ABC cân tại A)

          BC là cạnh chung

=>tam giác BHC = tam giác CKB (c.g.c)

=>BH=CK (2 cạnh tương ứng)     (dpcm)

Xét tam giác ABH và tam giác ACK ta có:

        AB=AC (tam giác ABC cân tại A)

        BH=CK (cmt)

        AH=AK (gt)

=> tam giác ABH = tam giác ACK (c.c.c)

=> ABH = ACK (2 góc tương ứng) (dpcm)

b) Theo a) tam giác BHC= tam giác CKB

=> HBC=KCB (2 góc tương ứng) hay OBC=OCB

=> Tam giác OBC là tam giác cân tại O (dpcm)

c) Theo b tam giác OBC cân tại O => OB=OC

    Theo a góc ABH = góc ACK => KBO= HCO

Xét tam giác OKB và tam giác OHC ta có:

      KB=HC (theo a)

      KBO=HCO (cmt)

      OB=OC (cmt)

=> tam giác OKB = tam giác OHC (c.g.c)

=> OK = OH (2 cạnh tương ứng) hay tam giác OKH là tam giác cân tại O (dpcm)

d) Gọi giao điểm của AO và KH là I

Xét tam giác AKO và tam giác AHO ta có:

        AK=AH (gt)

        AO là cạnh chung

        OK=OH (theo c)

=> tam giác AKO = tam giác AHO (c.c.c)

=> KAO = HAO (2 góc tương ứng)   hay KAI=HAI

Xét tam giác KAI và tam giác HAI ta có:

          AK=AH (gt)

          KAI=HAI (cmt)

          AI là cạnh chung

=> tam giác KAI = tam giác HAI ( c.g.c)

=> KI=HI ,   mà I nằm giữa H và K

=> I là trung điểm của KH hay

AO đi qua trung điểm của KH (dpcm)

2k nha