Đặt \(A=2^{100}-2^{98}+2^{96}-2^{94}+\cdots+2^4-2^2\)

=>\(4A=2^{102}-2^{100}+2^{98}-2^{96}+\cdots+2^6-2^4\)

=>4A+A=\(2^{102}-2^{100}+2^{98}-2^{96}+\cdots+2^6-2^4+2^{100}-2^{98}+2^{96}-2^{94}+\cdots+2^4-2^2\)

=>5A=\(2^{102}-2^2\)

=>\(A=\frac{2^{102}-2^2}{5}\)

Để giải biểu thức:

\(2^{100} - 2^{98} + 2^{96} - 2^{94} + \hdots + 2^{4} - 2^{2}\)

Chúng ta làm từng bước cẩn thận.

Bước 1: Nhóm các số hạng

Ta nhận thấy đây là chuỗi số lũy thừa của 2, dấu +, – xen kẽ:

\(2^{100} - 2^{98} + 2^{96} - 2^{94} + \hdots + 2^{4} - 2^{2}\)

Mỗi nhóm hai số hạng liên tiếp có thể nhóm chung 2^2:

\(2^{2} \left(\right. 2^{98} - 2^{96} + 2^{94} - \hdots + 1 \left.\right)\)

Vì:

\(2^{100} - 2^{98} = 2^{98} \left(\right. 2^{2} - 1 \left.\right) = 2^{98} \cdot 3\)

Vậy ta thử rút 2^2 lần lượt.

Bước 2: Nhận dạng dạng cấp số nhân

Gọi:

\(S = 2^{100} - 2^{98} + 2^{96} - \hdots + 2^{4} - 2^{2}\)

Rút 2^2 ra ngoài tất cả:

\(S = 2^{2} \left(\right. 2^{98} - 2^{96} + 2^{94} - \hdots + 2^{2} - 1 \left.\right)\)

Đặt:

\(T = 2^{98} - 2^{96} + 2^{94} - \hdots + 2^{2} - 1\)

Ta thấy đây là cấp số nhân với công bội q = 2^{-2} = \frac{1}{4}, vì:

\(T = 2^{98} - 2^{96} + 2^{94} - \hdots + 2^{2} - 1 = \sum_{k = 0}^{49} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} 2^{100 - 2 \left(\right. k + 1 \left.\right)}\)

Thật ra, cách nhanh hơn:

Bước 3: Nhóm hai số hạng liên tiếp

Mỗi cặp:

\(2^{2 n} - 2^{2 n - 2} = 2^{2 n - 2} \left(\right. 2^{2} - 1 \left.\right) = 3 \cdot 2^{2 n - 2}\)

Ví dụ:

• \(2^{100} - 2^{98} = 3 \cdot 2^{98}\)
• \(2^{96} - 2^{94} = 3 \cdot 2^{94}\)
• …
• \(2^{4} - 2^{2} = 3 \cdot 2^{2}\)

Vậy biểu thức trở thành:

\(S = 3 \left(\right. 2^{98} + 2^{94} + 2^{90} + \hdots + 2^{2} \left.\right)\)

Bước 4: Viết dưới dạng cấp số nhân

Dãy: \(2^{98} , 2^{94} , 2^{90} , \ldots , 2^{2}\)

• Số hạng đầu: \(a_{1} = 2^{98}\)
• Số hạng cuối: \(a_{n} = 2^{2}\)
• Công bội: \(r = 2^{- 4} = \frac{1}{16}\)
• Số hạng: \(n = ?\)

Ta có: \(2^{2 + 4 \left(\right. k - 1 \left.\right)} = 2^{98}\) → tính số hạng:

• Dạng giảm: \(2^{98} , 2^{94} , 2^{90} , \ldots , 2^{2}\)
• Số hạng thứ k: \(2^{100 - 2 - 4 \left(\right. k - 1 \left.\right)} = 2^{98 - 4 \left(\right. k - 1 \left.\right)}\)
• Khi số hạng cuối \(2^{2}\):

\(98 - 4 \left(\right. k - 1 \left.\right) = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 \left(\right. k - 1 \left.\right) = 96 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } k - 1 = 24 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } k = 25\)

Vậy có 25 số hạng.

Bước 5: Tính tổng cấp số nhân

Tổng cấp số nhân:

\(2^{98} + 2^{94} + 2^{90} + \hdots + 2^{2} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}\)

• \(a_{1} = 2^{98}\)
• \(r = \frac{1}{16}\)
• \(n = 25\)

\(\text{T}ổ\text{ng} = 2^{98} \frac{1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25}}{1 - 1 / 16} = 2^{98} \frac{1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25}}{15 / 16} = 2^{98} \cdot \frac{16}{15} \left(\right. 1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25} \left.\right)\)

Vì \(\left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25}\) cực kỳ nhỏ, nên có thể viết gọn:

\(\text{T}ổ\text{ng} = \frac{16}{15} \cdot 2^{98} \left(\right. 1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25} \left.\right)\)

Bước 6: Nhân lại với 3

\(S = 3 \cdot \frac{16}{15} \cdot 2^{98} \left(\right. 1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25} \left.\right) = \frac{48}{15} \cdot 2^{98} \left(\right. 1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25} \left.\right) = \frac{16}{5} \cdot 2^{98} \left(\right. 1 - \left(\right. 1 / 16 \left.\right)^{25} \left.\right)\)

✅ Kết quả

\(\boxed{S = \frac{16}{5} \cdot 2^{98} \left(\right. 1 - \frac{1}{16^{25}} \left.\right)}\)

Hoặc viết gọn hơn:

\(S = \frac{16}{5} \cdot 2^{98} \left(\right. 1 - 16^{- 25} \left.\right)\)
nhớ tick nhé