1. Xác định các yếu tố: \(B\) là trung điểm của \(MH\) (gt) \(\Rightarrow MB = BH\). \(I\) là trung điểm của \(AN\) (gt) \(\Rightarrow AI = IN\). 2. Chứng minh \(\triangle AHN \sim \triangle MBA\): \(\angle AHN = \angle MBA = 90^\circ\). \(\angle ANH = \angle BAM\) (cùng phụ với \(\angle HAN\)). Vậy \(\triangle AHN \sim \triangle MBA\) (g.g). Suy ra \(\frac{AH}{MB} = \frac{AN}{BA}\) hay \(\frac{AH}{BH} = \frac{AN}{BA}\) (vì \(MB = BH\)). 3. Chứng minh \(\triangle AHB \sim \triangle ANM\): \(\frac{AH}{BH} = \frac{AN}{BA}\) (cmt). \(\angle HAB = \angle NAM\) (cùng góc). Vậy \(\triangle AHB \sim \triangle ANM\) (c.g.c). Suy ra \(\angle ABH = \angle AMN\). 4. Chứng minh \(MN \perp HI\): Gọi \(K\) là giao điểm của \(MN\) và \(HI\). Ta có: \(\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ\) (do \(\triangle AHB\) vuông tại \(H\)). Mà \(\angle ABH = \angle AMN\) (cmt) \(\Rightarrow \angle AMN + \angle BAH = 90^\circ\). Lại có \(\angle BAH = \angle HIK\) (cùng phụ với \(\angle AHI\) trong tam giác vuông \(AHI\)). \(\Rightarrow \angle AMN + \angle HIK = 90^\circ\). Xét tam giác \(MKI\), ta có: \(\angle AMN + \angle HIK + \angle MKI = 180^\circ\). \(\Rightarrow 90^\circ + \angle MKI = 180^\circ\) \(\Rightarrow \angle MKI = 90^\circ\). Vậy \(MN \perp HI\). 

bro làm ơn ít nhất thì hãy tách các dòng ra chứ không phải copy hết từ chatgpt or whatever AI, mà nó còn sai nữa broski

Chọn hệ trục tọa độ với H(0;0), AH là trục Oy, BC là trục Ox
Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên H là trung điểm BC
Đặt A(0;a), B(-b;0), C(b;0)
Vì B là trung điểm của MH nên M(-2b;0)
Gọi N là chân đường vuông góc từ H xuống AB
Tính được N(-ba^2/(a^2+b^2); ab^2/(a^2+b^2))
I là trung điểm của AN nên I(-ba^2/[2(a^2+b^2)]; a(a^2+2b^2)/[2(a^2+b^2)])
Hệ số góc của HI là:
kHI = [a(a^2+2b^2)] : (-ba^2) = -(a^2+2b^2)/(ab)
Hệ số góc của MN là:
kMN = [ab^2/(a^2+b^2)] : [ -ba^2/(a^2+b^2) + 2b]
= ab/(a^2+2b^2)
Suy ra:
kHI . kMN = -(a^2+2b^2)/(ab) . ab/(a^2+2b^2) = -1
Vì tích hai hệ số góc bằng -1 nên MN vuông góc HI
Vậy MN vuông góc HI.