Giải hệ:
{
x^3 - 5x = y^3 + 5y
x^4 + y^2 = 2
}

Từ phương trình
x^4 + y^2 = 2
suy ra
x^4 <= 2
nên
x^2 <= sqrt(2) < 5.

Do đó
x^3 - 5x = x(x^2 - 5)
luôn trái dấu với x.

Còn
y^3 + 5y = y(y^2 + 5)
luôn cùng dấu với y.

Vì
x^3 - 5x = y^3 + 5y
nên hai vế cùng dấu, suy ra x và y phải trái dấu.

Bình phương phương trình đầu:
(x^3 - 5x)^2 = (y^3 + 5y)^2

Suy ra
x^2(x^2 - 5)^2 = y^2(y^2 + 5)^2

Đặt
z = x^2, với 0 <= z <= sqrt(2)

Từ
x^4 + y^2 = 2
ta có
y^2 = 2 - z^2

Thế vào, được:
z(5 - z)^2 = (2 - z^2)(7 - z^2)^2 (1)

Bây giờ xét hai vế của (1) trên đoạn [0; sqrt(2)].

Đặt
f(z) = z(5 - z)^2
g(z) = (2 - z^2)(7 - z^2)^2

Ta có
f'(z) = 3z^2 - 20z + 25

Nghiệm của f'(z) là z = 5/3 và z = 5.
Vì sqrt(2) < 5/3 nên trên [0; sqrt(2)] ta có f'(z) > 0.
Vậy f(z) tăng.

Tiếp theo
g'(z) = -2z(7 - z^2)(11 - 3z^2)

Với 0 < z <= sqrt(2) thì
z > 0,
7 - z^2 > 0,
11 - 3z^2 > 0
nên g'(z) < 0.
Vậy g(z) giảm.

Do một vế tăng, một vế giảm, nên phương trình (1) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mặt khác:
f(1) = 16
g(1) = 36
nên f(1) < g(1)

f(1,2) = 1,2 . (3,8)^2 = 17,328
g(1,2) = (2 - 1,44)(7 - 1,44)^2 = 0,56 . 5,56^2 = 17,311616
nên f(1,2) > g(1,2)

Vậy phương trình (1) có đúng 1 nghiệm z thuộc (1; 1,2).

Dùng tính gần đúng, ta được
z = x^2 ≈ 1,19982656

Suy ra
x ≈ +-1,09536595

Lại có
y^2 = 2 - z^2 ≈ 0,56041623
nên
|y| ≈ 0,74860953

Vì x và y trái dấu nên ta được 2 nghiệm:
(x; y) ≈ (1,09536595; -0,74860953)
(x; y) ≈ (-1,09536595; 0,74860953)

Kiểm tra lại:
Nếu x ≈ 1,09536595 và y ≈ -0,74860953 thì
x^4 + y^2 ≈ 2
và
x^3 - 5x ≈ y^3 + 5y

Vậy kết luận cuối cùng là:
Hệ có đúng 2 nghiệm thực gần đúng:
(x; y) ≈ (1,09536595; -0,74860953)
(x; y) ≈ (-1,09536595; 0,74860953)