Câu hỏi của Nguyễn Hoàng quân

Question

A = 2+2^2+2^3+...+2^999+2^1000. Chứng minh A chia hết cho 2; 3; 5; 14; 15.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

Ta có: $A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}$

$=2\left(1+2+2^2+\cdots+2^{999}\right)$ ⋮2

Ta có: $A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}$

$=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\cdots+\left(2^{999}+2^{1000}\right)$

$=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+\cdots+2^{999}\left(1+2\right)$

$=3\left(2+2^3+\cdots+2^{999}\right)$ ⋮3

Ta có: $A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}$

$=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\cdots+\left(2^{997}+2^{998}+2^{999}+2^{1000}\right)$

$=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+\cdots+2^{997}\left(1+2+2^2+2^3\right)$

$=15\left(2+2^5+\cdots+2^{997}\right)$ ⋮15

mà 15⋮5

nên A⋮5

Câu trả lời:

Ta có: $A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}$

$=2\left(1+2+2^2+\cdots+2^{999}\right)$ ⋮2

Ta có: $A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}$

$=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\cdots+\left(2^{999}+2^{1000}\right)$

$=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+\cdots+2^{999}\left(1+2\right)$

$=3\left(2+2^3+\cdots+2^{999}\right)$ ⋮3

Ta có: $A=2+2^2+2^3+\cdots+2^{1000}$

$=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\cdots+\left(2^{997}+2^{998}+2^{999}+2^{1000}\right)$

$=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+\cdots+2^{997}\left(1+2+2^2+2^3\right)$

$=15\left(2+2^5+\cdots+2^{997}\right)$ ⋮15

mà 15⋮5

nên A⋮5

Võ Kim Long · Answer

Ta có:

$A = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \hdots + 2^{1000} .$

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu $a = 2$ và công bội $r = 2$. Tổng $n$ số hạng là:

$S_{n} = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1} .$

Ở đây $n = 1000$, $a = 2$, $r = 2$, nên:

$A = 2 \cdot \frac{2^{1000} - 1}{2 - 1} = 2 \cdot \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right) = 2^{1001} - 2.$

Vậy:

$A = 2^{1001} - 2$

1. Chia hết cho 2

$A = 2^{1001} - 2 = 2 \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right)$

Rõ ràng chia hết cho 2 ✅

2. Chia hết cho 3

Ta dùng định lý Fermat nhỏ: $2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$ hoặc thử pattern modulo 3:

$2^{1} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$
$2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$
$2^{3} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$

Pattern lặp: 2,1,2,1,...

Tổng $A = 2 + 1 + 2 + 1 + . . .$ lặp 1000 lần. Nhưng tiện hơn:

$A = 2 \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right)$ $2^{1000} \equiv \left(\right. 2^{2} \left.\right)^{500} \equiv 1^{500} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$ $2^{1000} - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 ✅$

3. Chia hết cho 5

Xét modulo 5, ta biết pattern $2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5$ là:

$2^{1} = 2 , \&\text{nbsp}; 2^{2} = 4 , \&\text{nbsp}; 2^{3} = 3 , \&\text{nbsp}; 2^{4} = 1 , \&\text{nbsp}; 2^{5} = 2 , . . .$

Chu kỳ 4: $2 , 4 , 3 , 1$.

$2^{1000} \equiv 2^{\left(\right. 4 \cdot 250 \left.\right)} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5$ $2^{1000} - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 ✅$

4. Chia hết cho 14

14 = 2 × 7.

Đã chia hết cho 2 ✅
Kiểm tra modulo 7: Chu kỳ $2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$ là: 2,4,1,... (chu kỳ 3)

$2^{1} \equiv 2 , \&\text{nbsp}; 2^{2} \equiv 4 , \&\text{nbsp}; 2^{3} \equiv 1 , \&\text{nbsp}; 2^{4} \equiv 2 , . . .$

Chia 1000 cho 3: 1000 = 3×333 + 1 → $2^{1000} \equiv 2^{1} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$

$2^{1000} - 1 \equiv 2 - 1 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$

Nhưng A = 2*(2^{1000}-1) → $2 * 1 = 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$ ❌ Không chia hết cho 7, nên không chia hết cho 14.

5. Chia hết cho 15

15 = 3 × 5.

Đã chia hết cho 3 ✅
Đã chia hết cho 5 ✅
→ Chia hết cho 15 ✅

✅ Kết luận:

Chia hết: 2, 3, 5, 15
Không chia hết: 14

Câu trả lời:

Ta có:

$A = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \hdots + 2^{1000} .$

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu $a = 2$ và công bội $r = 2$. Tổng $n$ số hạng là:

$S_{n} = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1} .$

Ở đây $n = 1000$, $a = 2$, $r = 2$, nên:

$A = 2 \cdot \frac{2^{1000} - 1}{2 - 1} = 2 \cdot \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right) = 2^{1001} - 2.$

Vậy:

$A = 2^{1001} - 2$

1. Chia hết cho 2

$A = 2^{1001} - 2 = 2 \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right)$

Rõ ràng chia hết cho 2 ✅

2. Chia hết cho 3

Ta dùng định lý Fermat nhỏ: $2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$ hoặc thử pattern modulo 3:

$2^{1} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$
$2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$
$2^{3} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$

Pattern lặp: 2,1,2,1,...

Tổng $A = 2 + 1 + 2 + 1 + . . .$ lặp 1000 lần. Nhưng tiện hơn:

$A = 2 \left(\right. 2^{1000} - 1 \left.\right)$ $2^{1000} \equiv \left(\right. 2^{2} \left.\right)^{500} \equiv 1^{500} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3$ $2^{1000} - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 ✅$

3. Chia hết cho 5

Xét modulo 5, ta biết pattern $2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5$ là:

$2^{1} = 2 , \&\text{nbsp}; 2^{2} = 4 , \&\text{nbsp}; 2^{3} = 3 , \&\text{nbsp}; 2^{4} = 1 , \&\text{nbsp}; 2^{5} = 2 , . . .$

Chu kỳ 4: $2 , 4 , 3 , 1$.

$2^{1000} \equiv 2^{\left(\right. 4 \cdot 250 \left.\right)} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5$ $2^{1000} - 1 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 ✅$

4. Chia hết cho 14

14 = 2 × 7.

Đã chia hết cho 2 ✅
Kiểm tra modulo 7: Chu kỳ $2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$ là: 2,4,1,... (chu kỳ 3)

$2^{1} \equiv 2 , \&\text{nbsp}; 2^{2} \equiv 4 , \&\text{nbsp}; 2^{3} \equiv 1 , \&\text{nbsp}; 2^{4} \equiv 2 , . . .$

Chia 1000 cho 3: 1000 = 3×333 + 1 → $2^{1000} \equiv 2^{1} \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$

$2^{1000} - 1 \equiv 2 - 1 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$

Nhưng A = 2*(2^{1000}-1) → $2 * 1 = 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7$ ❌ Không chia hết cho 7, nên không chia hết cho 14.

5. Chia hết cho 15

15 = 3 × 5.

Đã chia hết cho 3 ✅
Đã chia hết cho 5 ✅
→ Chia hết cho 15 ✅

✅ Kết luận:

Chia hết: 2, 3, 5, 15
Không chia hết: 14

1. Chia hết cho 2

2. Chia hết cho 3

3. Chia hết cho 5

4. Chia hết cho 14

5. Chia hết cho 15

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

1. Chia hết cho 2

2. Chia hết cho 3

3. Chia hết cho 5

4. Chia hết cho 14

5. Chia hết cho 15

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP