= (a+b+a-b)[(a+b)^2-(a+b)(a-b)+(a-b)^2] = 2a(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2+a^2-2ab+b^2) 
= 2a(a^2+3b^2) 

(a + b)^3 + (a-b)^3 
Đặt A = a + b ; B = a - b 
Bây giờ đã trở thành 
A^3 + B^3 
= (A + B)(A² - AB + B² ) <- Làm vậy cho dễ nhìn 
= (a + b + a - b)[(a + b)² - (a + b)(a - b) + (a - b)²] 
= 2a( a² + 2ab + b² - a² + b² + a² - 2ab + b² ) 
= 2a( a² + 3b²)

Để phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(a \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + b \left(\right. c - a \left.\right)^{2} + c \left(\right. a - b \left.\right)^{2} - a^{3} - b^{3} - c^{3} + 4 a b c\)

Bước 1: Tính các bình phương và sắp xếp

Chúng ta bắt đầu bằng cách mở rộng các bình phương trong đa thức:

\(\left(\right. b - c \left.\right)^{2} = b^{2} - 2 b c + c^{2}\)\(\left(\right. c - a \left.\right)^{2} = c^{2} - 2 a c + a^{2}\)\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}\)

Thay các biểu thức này vào đa thức ban đầu:

\(a \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + b \left(\right. c - a \left.\right)^{2} + c \left(\right. a - b \left.\right)^{2} = a \left(\right. b^{2} - 2 b c + c^{2} \left.\right) + b \left(\right. c^{2} - 2 a c + a^{2} \left.\right) + c \left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right)\)

Mở rộng từng phần:

\(= a b^{2} - 2 a b c + a c^{2} + b c^{2} - 2 a b c + b a^{2} + c a^{2} - 2 a b c + c b^{2}\)

Kết hợp các hạng tử lại:

\(= a b^{2} + a c^{2} + b c^{2} + b a^{2} + c a^{2} + c b^{2} - 6 a b c\)

Bây giờ, cộng thêm các hạng tử còn lại trong đa thức gốc:

\(= a b^{2} + a c^{2} + b c^{2} + b a^{2} + c a^{2} + c b^{2} - 6 a b c - a^{3} - b^{3} - c^{3} + 4 a b c\)

Bước 2: Kết hợp các hạng tử

Ta tiếp tục gộp các hạng tử giống nhau:

\(= a b^{2} + a c^{2} + b c^{2} + b a^{2} + c a^{2} + c b^{2} - 2 a b c - a^{3} - b^{3} - c^{3}\)

Bước 3: Phân tích đa thức

Tiếp theo, chúng ta thấy rằng các hạng tử này có thể nhóm lại và có thể thấy rằng đây là một dạng biểu thức có thể được rút gọn hoặc có thể phân tích thêm theo các cách đặc biệt, như sử dụng các công thức đặc biệt trong đại số.

Tuy nhiên, việc phân tích đa thức này hoàn toàn thành nhân tử đơn giản rất khó khăn mà không sử dụng các công thức hoặc phương pháp phức tạp hơn (ví dụ, phân tích theo nhóm hoặc sử dụng máy tính đại số).

Do đó, kết quả cuối cùng của đa thức này là dạng rút gọn.

a,

\(x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b,

\(3x^2-7x+2=3x^2-x-6x+2=x\left(3x-1\right)-2\left(3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(x-2\right)\)

c,

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b+c\right)+c^3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

=)

a) \(x^2+5x+6\)

\(=x^2+2x+3x+6\)

\(=x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)\)

\(=\left(x+3\right)\left(x+2\right)\)

b) \(3x^2-7x+2\)

\(=3x^2-x-6x+2\)

\(=x\left(3x-1\right)-2\left(3x-1\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(3x-1\right)\)

c) Phân tích thành nhân tử $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ - Đại số - Diễn đàn Toán học

cái thứ nhất -3(a+b)(b+c)(c+a)

cái thứ hai 0

cái thứ 2 bằng (c+b+a). (a^2+b^2+c^2-ab-ac-ca)

Ta cần phân tích thành nhân tử biểu thức:

\(P = a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

🔍 Nhận xét cấu trúc:

Biểu thức có dạng đối xứng theo hoán vị của \(a , b , c\). Dấu hiệu này thường cho thấy biểu thức có thể phân tích thành tích của các biểu thức đối xứng hoặc đa thức nổi tiếng.

Ta viết lại biểu thức theo thứ tự:

\(P = a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

Nhóm theo chu kỳ:

\(= a^{3} \left(\right. b^{2} + c^{2} - b c \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} + a^{2} - c a \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} - a b \left.\right) + a b c\)

Nhận xét: b^2 + c^2 - bc = \frac{(b - c)^2 + bc}, nên không rất tiện để phân tích từng phần riêng lẻ. Nhưng có một đẳng thức đáng nhớ trong đại số đối xứng như sau:

✅ Công thức phân tích (kết quả chuẩn):

Biểu thức:

\(a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

phân tích được thành:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) \left(\right. c - a \left.\right)\)

📌 Kết luận:

\(\boxed{a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) \left(\right. c - a \left.\right)}\)

Tham khảo

a) 12x³ + 4x² + 9x + 3 = 4x²(3x + 1) + 3(3x + 1) = (4x² + 3)(3x + 1)

b) x³ + 2x² - x - 2 = x²(x + 2) - (x + 2) = (x² - 1(x + 2) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

c) a³ + (a - b)³ = (a + a - b)[a² - a(a - b) + (a - b)²] = (2a - b)(a² - a² + ab +  a² - 2ab + b²)

= (2a - b)(a² - ab + b²)

a) 12x³ + 4x² + 9x + 3

= 4x²(3x + 1) + 3(3x + 1)

= (4x² + 3)(3x + 1)

b) x³ + 2x² - x - 2

= x²(x + 2) - (x + 2)

= (x² - 1)(x + 2)

c) a³ + (a - b)³ 

= a³ - a²(a - b) + a(a - b)² + (a - b)a² - (a - b)²a + (a - b)³

= a[(a² - a(a - b) + (a - b)²] + (a - b)[a² - a(a - b) + (a - b)²]

= (a + a - b)[(a² - a(a - b) + (a - b)²]

\(\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)

\(=\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-a+a-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)

\(=\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-a}{1+bc}+\frac{a-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)

\(=\frac{b-a}{1+bc}-\frac{b-a}{1+ab}-\frac{c-a}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ac}\)

\(=\left(b-a\right)\left(\frac{1}{1+bc}-\frac{1}{1+ab}\right)-\left(c-a\right)\left(\frac{1}{1+bc}-\frac{1}{1+ac}\right)\)

\(=\left(b-a\right)\left(\frac{1+ab-1-bc}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)}\right)-\left(c-a\right)\left(\frac{1+ac-1-bc}{\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\right)\)

\(=\left(b-a\right)\frac{b\left(a-c\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)}-\left(c-a\right)\frac{c\left(a-b\right)}{\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)

Quy đồng:

\(=\frac{\left(b-a\right)b\left(a-c\right)\left(1+ac\right)-\left(c-a\right)c\left(a-b\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)

\(=\frac{\left(b-a\right)b\left(a-c\right)\left(1+ac\right)-\left(a-c\right)c\left(b-a\right)\left(1+ab\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)

\(=\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(b\left(1+ac\right)-c\left(1+ab\right)\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)

\(=\frac{\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(b+abc-c-abc\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\)là tích của chúng.

a)(a+b+c)³ - a³ - b^{3 -} c³

= (a+b+c-a)( a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac-a²-ab-ac+a²) - (b+c)(b²-bc+c²)

=(b+c)(a²+ab+ac+bc)

b) x³+y³+z³-3xyz

= (x+y)³-3xy(x+y) +z³-3xyz

= (x+y+z)(x²+y²+2xy-xz-yz+z²) - 3xy(x+y+z)

=(x+y+z)( x²+y²+z²-xy-yz-xz)

câu a chưa pt hết kìa :V
a, 3(a+b)(b+c)(c+a)
có thẻ dùng hđt : (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)

a)  (-(c-b+a)^2)(4c^2z-8bcz+8acz+4b^2z-8abz+4a^2z-2cy+2by-2ay-3x)

b, (x-2)^2(x-1)

Trả lời:

a) \(x^3+2x=x\left(x^2+2\right)\)

b) \(3x^3-12x^2=3x^2\left(x-4\right)\)

a.\(x^3+2x=x\left(x^2+2\right)\)

b.\(3x^3-12x^2=3x^2\left(x-4\right)\)

Chúc bạn học tốt!