Câu hỏi của Đỗ Chí Dũng

Question

Cho hình tam giác ABC có vuông tại A ,chu vi là 72cm, có độ dài cạnh AB bằng 3/4 độ dài cạnh AC, độ dài cạnh AC bằng 5/4 độ dài cạnh BC, tính diện tích hình tam giác ABC.

Đoàn Trung Hiếu · Accepted Answer

:/

Câu trả lời:

:/

Nguyễn Sỹ Quang · Answer

Từ $A C = \frac{5}{4} B C$, ta suy ra $B C = \frac{4}{5} A C$.
Thay $A B = \frac{3}{4} A C$ và $B C = \frac{4}{5} A C$ vào phương trình chu vi:
$\frac{3}{4} A C + A C + \frac{4}{5} A C = 72$

Quy đồng mẫu số để cộng các phân số:
$\frac{15}{20} A C + \frac{20}{20} A C + \frac{16}{20} A C = 72$
$\frac{15 + 20 + 16}{20} A C = 72$
$\frac{51}{20} A C = 72$
$A C = 72 \times \frac{20}{51}$
$A C = \frac{1440}{51} = \frac{480}{17}$ cm.

Bây giờ, ta tính độ dài cạnh AB:
$A B = \frac{3}{4} A C = \frac{3}{4} \times \frac{480}{17} = \frac{3 \times 120}{17} = \frac{360}{17}$ cm.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên diện tích tam giác được tính bằng công thức:
$\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \frac{1}{2} \times đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y} \times \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao}$
Trong tam giác vuông tại A, ta có thể coi AB là chiều cao và AC là đáy (hoặc ngược lại).
$\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \frac{1}{2} \times A B \times A C$
$\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \frac{1}{2} \times \frac{360}{17} \times \frac{480}{17}$
$\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \frac{1 \times 360 \times 480}{2 \times 17 \times 17}$
$\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \frac{172800}{578}$
$\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = \frac{86400}{289}$ cm$^{2}$.

Để kiểm tra lại các cạnh có hợp lý với định lý Pitago $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$:
$A B^{2} = \left(\right. \frac{360}{17} \left.\right)^{2} = \frac{129600}{289}$
$A C^{2} = \left(\right. \frac{480}{17} \left.\right)^{2} = \frac{230400}{289}$
$A B^{2} + A C^{2} = \frac{129600 + 230400}{289} = \frac{360000}{289}$
$B C = \frac{4}{5} A C = \frac{4}{5} \times \frac{480}{17} = \frac{4 \times 96}{17} = \frac{384}{17}$
$B C^{2} = \left(\right. \frac{384}{17} \left.\right)^{2} = \frac{147456}{289}$
Ta thấy $A B^{2} + A C^{2} \neq B C^{2}$. Điều này cho thấy các tỉ lệ cạnh được cho trong đề bài mâu thuẫn với việc tam giác vuông tại A.

Tuy nhiên, nếu chấp nhận đề bài cho các tỉ lệ cạnh như vậy và yêu cầu tính diện tích dựa trên giả định đó, ta có kết quả như trên.

Nếu bỏ qua điều kiện "vuông tại A" và chỉ xét chu vi và các tỉ lệ cạnh để tìm độ dài ba cạnh, ta có:
$A B = \frac{3}{4} A C$
$B C = \frac{4}{5} A C$
$A B + A C + B C = 72$
$\frac{3}{4} A C + A C + \frac{4}{5} A C = 72$
$\frac{51}{20} A C = 72$
$A C = \frac{480}{17}$ cm
$A B = \frac{3}{4} \times \frac{480}{17} = \frac{360}{17}$ cm
$B C = \frac{4}{5} \times \frac{480}{17} = \frac{384}{17}$ cm

Với các cạnh này, ta có thể tính diện tích bằng công thức Heron nếu không biết tam giác vuông. Nhưng đề bài cho là vuông tại A, nên diện tích sẽ là $\frac{1}{2} \times A B \times A C$.

Vì các điều kiện của đề bài mâu thuẫn nhau (tỉ lệ cạnh không phù hợp với tam giác vuông tại A theo định lý Pitago), nên không thể xác định được diện tích của tam giác ABC một cách chính xác theo các thông tin được cung cấp. Nếu chỉ dựa vào giả định tam giác vuông tại A và các tỉ lệ cạnh, ta tính được diện tích là $\frac{86400}{289}$ cm$^{2}$.

vậy diện tích là $\frac{86400}{289}$ cm$^{2}$.