Ta dùng nguyên lý Dirichlet (nguyên lý “hộp – bồ câu”).

Bước 1: Chia hình tròn

Chia hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) thành 16 hình quạt bằng nhau, mỗi quạt có góc ở tâm:

\(\frac{360^{\circ}}{16} = 22 , 5^{\circ} .\)

Như vậy, hình tròn được chia thành 16 vùng.

Bước 2: Áp dụng nguyên lý Dirichlet

Ta chọn 17 điểm trong hình tròn.

Vì chỉ có 16 vùng, nên theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 2 điểm phải nằm trong cùng một vùng.

Gọi hai điểm đó là \(A\) và \(B\).

Bước 3: Ước lượng khoảng cách giữa hai điểm trong cùng một quạt

Vì \(A\) và \(B\) nằm trong cùng một quạt nên góc ở tâm thỏa:

\(\angle A O B \leq 22 , 5^{\circ} .\)

Ta có công thức độ dài dây cung:

\(A B = 2 R sin ⁡ \left(\right. \frac{\angle A O B}{2} \left.\right) \leq 2 R sin ⁡ \left(\right. 11 , 25^{\circ} \left.\right) .\)

Ta biết:

\(sin ⁡ \left(\right. 11 , 25^{\circ} \left.\right) < \frac{1}{3} .\)

Suy ra:

\(A B < 2 R \cdot \frac{1}{3} = \frac{2 R}{3} .\)

Kết luận

Trong 17 điểm bất kỳ lấy trong hình tròn bán kính \(R\), luôn có ít nhất 2 điểm cách nhau nhỏ hơn \(\frac{2 R}{3}\).

Giả sử 17 điểm bất kỳ đều có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 2R/3.
Vẽ 17 hình tròn nhỏ tâm là 17 điểm đó, bán kính R/3.
Vì khoảng cách giữa hai tâm bất kỳ >= 2R/3 nên các hình tròn nhỏ này không chồng lên nhau.
Mỗi hình tròn nhỏ nằm trong hình tròn tâm O bán kính R + R/3 = 4R/3.
Tổng diện tích 17 hình tròn nhỏ là:
17.π.(R/3)^2 = 17πR^2/9
Diện tích hình tròn lớn bán kính 4R/3 là:
π.(4R/3)^2 = 16πR^2/9
Ta thấy 17πR^2/9 > 16πR^2/9, vô lí.
Vậy giả sử sai, suy ra trong 17 điểm bất kỳ luôn có ít nhất 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 2R/3.