Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a: Xét tứ giác AECF có
O là trung điểm của AC
O là trung điểm của FE
Do đó: AECF là hình bình hành
Suy ra: AE//CF
b: Gọi H là trung điểm của KC
Xét ΔAKC cso
O là trung điểm của AC
H là trung điểm của KC
Do đó: OH là đường trung bình
=>OH//AK
hay OH//KE
Xét ΔDOH có
E là trung điểm của DO
EK//OH
Do đó: K là trung điểm của DH
=>DK=KH=HC
hay DK=KC/2
cách 2, câu b/
Gọi giao của AC và BD là I, chứng minh được DI= CI
mà ED =CF
=> IE= IF
mặt khác, tam giác IEF và tam giác IDC cùng cân tại I nên EF // CD
cách 1, câu b/
Gọi N là giao EF và BC
dùng đường trung bình và tiên đề Euclid, chứng minh được E,F,N thẳng
>>> đpcm
a) Vì ABCD là hình thoi(gt). Mà AC và BD cắt nhau tại O
=> O là trung điểm của AC và BD (t/c của hình bình hành)
=> OB=OD. Mà BE=DF(gt)
=> OB-BE=OD-DF => OE=OF. Mà O nằm giữa E và F
=> O là trung điểm của EF
Xét tứ giác AECF có: AC cắt EF tại O
Mà O là trung điểm của AC( c/m trên )
O là trung điểm của EF( c/m trên )
=> AECF là hình bình hành (Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành)
b) Để AECF là hình thoi => \(AC\perp EF\) tại O
=> \(AC\perp BD\) tại O \(\left(E,F\in\left(O\right)\right)\)
Xét hình bình hành ABCD có: \(AC\perp BD\) tại O (c/m trên)
=> ABCD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đ/c vuông góc là hình thoi)
Vậy để AECF là hình thoi thì ABCD là hình thoi
a) Vì ABCD là hình thoi(gt). Mà AC và BD cắt nhau tại O
=> O là trung điểm của AC và BD (t/c của hình bình hành)
=> OB=OD. Mà BE=DF(gt)
=> OB-BE=OD-DF => OE=OF. Mà O nằm giữa E và F
=> O là trung điểm của EF
Xét tứ giác AECF có: AC cắt EF tại O
Mà O là trung điểm của AC( c/m trên )
O là trung điểm của EF( c/m trên )
=> AECF là hình bình hành (Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành)
b) Để AECF là hình thoi => AC⊥EFAC⊥EF tại O
=> AC⊥BD tại O (E,F∈(O)
Xét hình bình hành ABCD có: AC⊥BDAC⊥BD tại O (c/m trên)
=> ABCD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đ/c vuông góc là hình thoi)
Vậy để AECF là hình thoi thì ABCD là hình thoi
B C A D O M N E F T U V
Kẻ MT // BD, T \(\in\)AD
Gọi giao điểm của MT và AC là U, giao điểm của NT và BD là V
Xét \(\Delta ABD\)có : MT // BD \(\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AT}{AD}\)( Định lí Ta-lét )
Mà \(\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}\)( gt ) \(\Rightarrow\frac{AT}{AD}=\frac{CN}{CD}\)
Áp dụng định lí Ta-lét đảo trong \(\Delta ACD\)có \(\frac{CN}{CD}=\frac{AT}{AD}\)( cmt ) \(\Rightarrow\)NT // AC
Áp dụng định lí Ta-lét trong các tam giác :
+) \(\Delta AOB\)có MU // BO ( MT // BD; U\(\in\)MT; O \(\in\)BD ) \(\Rightarrow\frac{MU}{BO}=\frac{AM}{AB}\)(1)
+) \(\Delta OCD\)có VN // OC ( NT // AC; V \(\in\)NT; O \(\in\)AC ) \(\Rightarrow\frac{VN}{OC}=\frac{VD}{OD}\)(2)
+) \(\Delta OAD\): \(\orbr{\begin{cases}UT//OD\Rightarrow\frac{UT}{OD}=\frac{AT}{ÀD}\Rightarrow\frac{UT}{OD}=\frac{AM}{AB}\left(3\right)\\VT//OA\Rightarrow\frac{VT}{OA}=\frac{VD}{OD}\left(4\right)\end{cases}}\)
+) \(\Delta MNT\): \(\orbr{\begin{cases}EU//NT\left(AC//NT;E,U\in AC\right)\Rightarrow\frac{MU}{UT}=\frac{ME}{EN}\left(5\right)\\FV//MT\left(BD//MT;F,V\in BD\right)\Rightarrow\frac{VN}{VT}=\frac{FN}{FM}\left(6\right)\end{cases}}\)
Từ (1) (3) \(\Rightarrow\frac{MU}{OB}=\frac{UT}{OD}\Rightarrow\frac{MU}{UT}=\frac{OB}{OD}\)
Từ (2) (4) \(\Rightarrow\frac{VN}{OC}=\frac{VT}{OA}\Rightarrow\frac{VN}{VT}=\frac{OC}{OA}\)
Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét trong \(\Delta OAD\)và \(\Delta OBC\)có BC // AD ( gt ) \(\Rightarrow\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OD}\)
\(\Rightarrow\frac{MU}{UT}=\frac{VN}{VT}\)kết hợp với điều (5) (6) \(\Rightarrow\frac{ME}{EN}=\frac{FN}{MF}\Rightarrow ME\cdot MF=FN\cdot EN\)
\(\Rightarrow ME\cdot\left(ME+EF\right)=FN\cdot\left(FN+EF\right)\Rightarrow ME^2+ME\cdot EF=FN^2+FN\cdot EF\)
\(\Rightarrow ME^2+ME\cdot EF-FN^2-FN\cdot EF=0\)\(\Rightarrow\left(ME-FN\right)\cdot\left(ME+FN\right)+EF\cdot\left(ME-FN\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ME-FN\right)\cdot\left(ME+FN+EF\right)=0\)
Vì các cạnh ME, FN, EF luôn lớn hơn 0 \(\Rightarrow\)không có trường hợp ME + FN + EF = 0
\(\Rightarrow ME-FN=0\Leftrightarrow ME=FN\)
Bài 1:
a: Xét tứ giác ABCD có góc B+góc D=180 độ
nên ABCD là tứ giác nội tiếp
=>góc BAC=góc BDC và góc DAC=góc DBC
mà góc CBD=góc CDB
nên góc BAC=góc DAC
hay AC là phân giác của góc BAD
b: Ta có: góc BCA=góc BAC
=>góc BCA=góc CAD
=>BC//AD
=>ABCD là hình thang
mà góc B=góc BCD
nên ABCD là hình thang cân
a)xét tam giác ABC có AD=DB, AE=EC => DE là đg` TB => DE//BC=> DE//BF
và DE=1/2BC=> DE= BF => BDEF là hbh
b) DE//BC => DE//KF => DEFK là hình thang(1)
DE//BC => DEF = EFC(SLT)
BDEF là hbh BD//EF => DBC=EFC (đồng vị) => DEF = DBC
DE//BC => EDK=DKB(SLT)
Xét tam giác ABK vg tại K có D là TĐ của AB=> KD là trung tuyến => KD=1/2AB=BD=> tam giác BDK cân tại D => DBC=DKB
=> KDE = DEF(2)
Từ (1) và (2) => DEFK là hình thang cân