Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách khác:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)}{4}\ge2xy+\frac{x+y}{4}\)
\(=\frac{4xy+x+4xy+y}{4}=\frac{x\left(4y+1\right)+y\left(4x+1\right)}{4}\)
\(\ge\frac{4x\sqrt{y}+4y\sqrt{x}}{4}=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+y+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(x+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x}{4}}=\sqrt{x}\)
\(y+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{y}{4}}=\sqrt{y}\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{2}.2.\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
Cho x,y>0 thỏa mãn x3+y3=x−y. Chứng minh: x2+y2<1.
Cho x,y>0x,y>0 thỏa mãn x3+y3=x−y. Chứng minh: x2+y2<1.
.............................
Chứng minh bằng biến đổi tương đương :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge\) (luôn đúng)
Bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\Leftrightarrow a=b\) (a,b không âm)
áp dụng BĐT cô-si ta có:
\(\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)\(\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=2\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{4}}=2\frac{\sqrt{ab}}{2}=\sqrt{ab}\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=0 hoặc a=b=1
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
khiếp, toán lớp 9 . khó thế cơ
Mình ko thấy bài toán banj
Chứng minh:
\(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}\)
Ta có:
\(\left(\right. x - y \left.\right)^{2} \geq 0\) \(\Rightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0\) \(\Rightarrow \left(\right. x + y \left.\right)^{2} \geq 4 x y\)
Lấy căn:
\(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{x y}\)
Đẳng thức xảy ra khi:
\(x = y\)
Ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
=>\(x+y\ge2\cdot\sqrt{xy}\)
=>\(x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)
=>\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi x=y