Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét (O):
D đối xứng với B qua O (gt).
\(\Rightarrow\) O là trung điểm của BD.
\(\Rightarrow\) BD là đường kính của (O).
Xét (O):
BD là đường kính của (O) (cmt).
\(E\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{BED}=90^o.\)
Xét (O):
AB là tiếp tuyến (gt).
\(\Rightarrow BD\perp AB\) (Tính chất tiếp tuyến).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=90^o.\)
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BDE:\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{BED}\left(=90^o\right).\\ \widehat{ADB}chung.\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{BE}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).
\(\Rightarrow BD.BE=BA.DE.\)
- Thương của hai số được tính.
- Thương được nhân với 100100100để tìm tỉ số phần trăm.
- Thương của 36,9636 comma 9636,96và 424242được tính: 36,9642=0,88the fraction with numerator 36 comma 96 and denominator 42 end-fraction equals 0 comma 8836,9642=0,88.
- Tỉ số phần trăm được tính bằng cách nhân thương với 100100100: 0,88×100=88%0 comma 88 cross 100 equals 88 %0,88×100=88%.
a. AB là tiếp tuyến của đt (O) tại B (gt) => \(\widehat{OBA}=90^o\)
AC là tiếp tuyến của đt (O) tại C (gt) => \(\widehat{OCA}=90^o\)
Xét tứ giác ABOC có: \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^o+90^o=180^o\)=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (Dhnb) => Đpcm
b.
Xét đt (O) có: \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
\(\widehat{BED}=\widehat{BEA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)(T/c góc nội tiếp của đt) (Do A,D,E (gt) => \(\widehat{BED}=\widehat{BEA}\))
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{BEA}\)
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta AEB\)có:
* \(\widehat{A}chung\)
* \(\widehat{ABD}=\widehat{BEA}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABD~\Delta AEB\left(g.g\right)\)=> \(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\RightarrowĐpcm\)
c. Vì F là điểm đối xứng của D qua OA => OA là đường trung trực của DF (Đ/n đối xứng trục) => OD = OF = R (T/c điểm thuộc đường trung trực) => F \(\in\left(O\right)\)và \(\Delta ODF\)cân tại O (Đ/n) => OA vừa là đường trung trực của đoạn thẳng DF đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{DOF}\)(T/c của \(\Delta\)cân)=> \(\widehat{DOA}=\widehat{FOA}=\frac{1}{2}\widehat{DOF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{DF}\)
Xét đt (O) có: \(\widehat{DEF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{DF}\)(T/c góc nội tiếp) => \(\widehat{DOA}=\widehat{DEF}\)(1)
Ta có: AB,AC lần lượt là 2 tiếp tuyến của đt (O) (B,C là 2 tiếp điểm) (gt) => OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Định lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: OB = OC = R => \(\Delta OBC\)cân tại O (Đ/n) => OA vừa là phân giác đồng thời là đường cao của \(\Delta OBC\)(T/c của \(\Delta\)cân)=> \(OA\perp BC\)tại H (H là giao điểm của OA và BC)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta\)vuông ABO (vuông tại B) với đường cao BH ta được: \(AB^2=AH.AO\)
Mà \(AB^2=AD.AE\left(cmt\right)\)=> \(AD.AE=AH.AO\Leftrightarrow\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
Xét \(\Delta AHD\)và \(\Delta AEO\)có:
* \(\widehat{A}\)chung
* \(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AHD~\Delta AEO\left(c.g.c\right)\)=> \(\widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{DEO}\left(Do\overline{A,D,E}\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{DEO}\right)\)=> Tứ giác DEOH là tứ giác nội tiếp (Dhnb) => \(\widehat{DEH}=\widehat{DOH}=\widehat{DOA}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{DH}\)) (Do A,H,O => \(\widehat{DOH}=\widehat{DOA}\)) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{DEF}=\widehat{DEH}\)=> 3 điểm E,F,H thẳng hàng ( 2 góc cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại của 2 góc cùng nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau) => Đpcm.
I. Các tính chất quan trọng cần dùng
1. B, C là tiếp điểm ⇒ OB ⟂ AB, OC ⟂ AC.
⇒ Tứ giác \(A B O C\) nội tiếp đường tròn đường kính \(A O\).
2. D đối xứng với B qua O
⇒ \(O\) là trung điểm của \(B D\).
⇒ \(O B = O D\).
⇒ D nằm trên đường tròn (O).
⇒ D là điểm đối xứng B nên cung BD là đường kính.
3. A nằm ngoài, AB = AC (hai tiếp tuyến từ một điểm).
⇒ Tam giác ABC cân tại A.
⇒ Đường thẳng \(A O\) là trục đối xứng của tam giác ABC.
⇒ \(H = A O \cap B C\) là chân đường cao trong tam giác cân.
⇒ BH = HC.
II. Các bộ tứ giác nội tiếp
1. A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn
Do AB ⟂ OB và AC ⟂ OC.
⇒ \(\angle A B O = \angle A C O = 90^{\circ} .\)
2. A, D, O, B cùng thuộc một đường tròn
Do \(O B = O D = R\).
⇒ B và D là hai điểm đối xứng nên cùng trên (O).
⇒ A, B, C, D, E đều nằm trên cùng một đường tròn (O).
III. Chứng minh hệ thức
Cần chỉ ra:
\(D E \cdot B H = B E \cdot C D .\)
Ta đã biết:
\(B H = H C .\)
Vậy hệ thức trở thành:
\(D E \cdot H C = B E \cdot C D .\)
Chia hai vế cho \(H C\):
\(D E = B E \cdot \frac{C D}{H C} .\)
Xét tam giác C D E và điểm H thuộc CB
Trong đường tròn (O), vì B, C, D đối xứng, ta có:
⇒ Hai tam giác ΔDEH và ΔBEC đồng dạng.
Từ đồng dạng:
\(\frac{D E}{B E} = \frac{C D}{B H} .\)
Nhân chéo:
\(D E \cdot B H = B E \cdot C D .\)
Đẳng thức được chứng minh.
Kết luận
Với các góc nội tiếp chắn cùng cung của đường tròn và tính chất đối xứng của \(D\) qua O, ta chứng minh được:
\(\boxed{D E \cdot B H = B E \cdot C D .}\)