K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NN
0
PB
0
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 10 2025
Bài 4:
a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1
b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)
Bài 5:
\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)
\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)
Bài 6:
Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
6 tháng 10 2025
Bài 4:
a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1
b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)
Bài 5:
\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)
\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)
Bài 6:
Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)
Bài 3:
a: ĐKXĐ: a>0; b>0; a<>b
b: \(A=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=-2\sqrt{b}\)
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
9 tháng 9 2025
a: \(\begin{cases}3x-2y=7\\ -6x+4y=-9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x-4y=14\\ -6x+4y=-9\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}6x-4y-6x+4y=14-9=5\\ 3x-2y=7\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0y=5\\ 3x-2y=7\end{cases}\)
=>Hệ vô nghiệm
b: \(\begin{cases}2x+4y=9\\ -3x-6y=-27\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x+8y=18\\ -6x-12y=-54\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}6x+8y-6x-12y=18-54=-36\\ 2x+4y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-4y=-36\\ 2x=9-4y\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}y=9\\ 2x=9-4\cdot9=9-36=-27\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=9\\ x=-\frac{27}{2}\end{cases}\)
c: \(\begin{cases}5x+y=3\\ 4x-2y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}10x+2y=6\\ 4x-2y=9\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}10x+2y+4x-2y=6+9\\ 5x+y=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}14x=15\\ y=3-5x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{15}{14}\\ y=3-5\cdot\frac{15}{14}=3-\frac{75}{14}=\frac{42}{14}-\frac{75}{14}=\frac{-33}{14}\end{cases}\)
d: \(\begin{cases}2x-3y=-5\\ -4x+6y=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x-6y=-10\\ -4x+6y=10\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}4x-6y-4x+6y=-10+10=0\\ 2x-3y=-5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0y=0\\ 2x=3y-5\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}y\in R\\ x=\frac{3y-5}{2}\end{cases}\)
KV
14 tháng 9 2025
a) Do MN ⊥ OA tại H (gt)
⇒ H là trung điểm của MN
Tứ giác OMAN có:
H là trung điểm của OA (gt)
H là trung điểm của MN (cmt)
⇒ OMAN là hình thoi
⇒ OA là tia phân giác của ∠MON (1)
Do BM và BN là hai tiếp tuyến của (O) (gt)
⇒ OB là tia phân giác của ∠MON (2)
Từ (1) và (2) suy ra O, A, B thẳng hàng
b) Do OMAN là hình thoi (cmt)
⇒ AM = OA = OM = R
⇒ ∆OAM là tam giác đều
⇒ ∠MOA = 60⁰
⇒ ∠MOB = 60⁰
Do BM là tiếp tuyến của (O) (gt)
⇒ BM ⊥ OM
⇒ ∆OMB vuông tại M
⇒ ∠OBM + ∠MOB = 90⁰
⇒ ∠OBM = 90⁰ - ∠MOB = 90⁰ - 60⁰ = 30⁰
Do BM và BN là hai tiếp tuyến của (O) (gt)
⇒ BO là tia phân giác của ∠MBN
⇒ ∠MBN = 2.∠OBM = 2.30⁰ = 60⁰
Do BM và BN là hai tiếp tuyến của (O) (gt)
⇒ BM = BN
∆BMN có:
BM = BN (cmt)
⇒ ∆BMN cân tại B
Mà ∠MBN = 60⁰ (cmt)
⇒ ∆BMN là tam giác đều
c) ∆OMB vuông tại M (cmt)
Do MN ⊥ OA tại H (gt)
⇒ MH ⊥ OB
⇒ MH là đường cao của ∆OMB
⇒ OH.OB = OM²
Hay OH.OB = R²
d) ∆OMB vuông tại B (cmt)
⇒ BM = OM.tanMOB
= R.tan30⁰
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
14 tháng 9 2025
a: Xét (O) có
BD,BA là các tiếp tuyến
Do đó: BD=BA
=>B nằm trên đường trung trực của AD(1)
Ta có: OD=OA
=>O nằm trên đường trung trực của AD(2)
Từ (1),(2) suy ra OB là đường trung trực của AD
=>OB⊥AD
Xét (O) có
CA,CE là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CE
=>C nằm trên đường trung trực của AE(3)
Ta có: OA=OE
=>O nằm trên đường trung trực của AE(4)
Từ (3),(4) suy ra OC là đường trung trực của AE
=>OC⊥AE
b: BD+CE
=BA+AC
=BC
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
18 tháng 8 2025
Xét ΔAHC vuông tại H có \(\sin C=\frac{AH}{AC}\)
=>\(\frac{AH}{10}=\sin30=\frac12\)
=>\(AH=\frac{10}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHC vuông tại H
=>\(HA^2+HC^2=CA^2\)
=>\(HC^2=10^2-5^2=100-25=75=\left(5\sqrt3\right)^2\)
=>\(HC=5\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HB\cdot HC=HA^2\)
=>\(HB=\frac{5^2}{5\sqrt3}=\frac{5}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}\) (cm)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=5^2+\left(\frac{5\sqrt3}{3}\right)^2=25+\frac{25}{3}=\frac{100}{3}\)
=>\(AB=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10}{\sqrt3}\) (cm)
**Đặt bài:** Cho đường tròn ((O)) bán kính (R) và điểm (M) nằm ngoài đường tròn. Từ (M) kẻ hai tiếp tuyến (MA, MB) với ((O)) (với (A,B) là các tiếp điểm). Gọi (AC) là đường kính (với (C) đối diện (A)), đường thẳng (OM) cắt (AB) tại (H). Đường thẳng (MC) cắt ((O)) tại (E) (khác (C)). Chứng minh các kết luận sau.
---
### a) (M,A,B,O) cùng thuộc một đường tròn (tứ giác (OAMB) nội tiếp)
Vì (MA) là tiếp tuyến tại (A) nên (OA\perp MA). Tương tự (OB\perp MB). Do đó
[
\angle OAM=90^\circ,\quad \angle OBM=90^\circ.
]
Hai góc đối diện của tứ giác (OAMB) có tổng bằng (90^\circ+90^\circ=180^\circ). Do đó tổng hai góc đối bằng (180^\circ) nên (O,A,B,M) cùng nằm trên một đường tròn (tứ giác nội tiếp). (Hoặc nói: hai góc chắn cùng cung cộng (180^\circ) ⇒ cyclic.)
---
### b) Kẻ đường kính (AC). (OM) cắt (AB) tại (H). Chứng minh (BC\parallel OM).
1. Vì (MA,MB) là hai tiếp tuyến từ (M) nên (MA=MB). Vậy (M) nằm trên đường trung trực của đoạn (AB).
2. Vì (O) là tâm đường tròn nên (OA=OB). Vậy (O) cũng nằm trên đường trung trực của đoạn (AB).
3. Do cả (O) và (M) cùng nằm trên đường trung trực của (AB), đường thẳng (OM) chính là đường trung trực của (AB). Suy ra (OM\perp AB) và (H) là trung điểm của (AB).
4. Vì (AC) là đường kính, theo định lí trong đường tròn, (\angle ABC=90^\circ). Do đó (BC\perp AB).
5. Từ (BC\perp AB) và (OM\perp AB) suy ra (BC\parallel OM). (Hai đường cùng vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song.)
Vậy (BC\parallel OM).
---
### c) (MC) cắt ((O)) tại (E\neq C). Chứng minh
[
MA^2 = ME\cdot MC = MH\cdot MO.
]
**(i) (MA^2 = ME\cdot MC).**
Đây là hệ quả trực tiếp của định lí về tiếp tuyến và secant (tangent–secant theorem, hay tính chất “bình phương tiếp tuyến”): với điểm (M) nằm ngoài đường tròn, bình phương độ dài tiếp tuyến bằng tích hai đoạn trên một secant đi qua (M). Áp dụng cho secant (MCE) ta được
[
MA^2 = MC\cdot ME.
]
**(ii) (ME\cdot MC = MH\cdot MO).**
Ta sẽ dùng công thức mũ (power) của một điểm đối với đường tròn ((O)).
* Power của điểm (M) đối với ((O)) là
[
\text{Pow}_{(O)}(M)=MA^2=MC\cdot ME.
]
* Power của điểm (H) đối với ((O)) là
[
\text{Pow}*{(O)}(H)=HA\cdot HB.
]
Nhưng từ phần (b) (H) là trung điểm của (AB), nên (HA=HB) và
[
\text{Pow}*{(O)}(H)=HA^2.
]
Ta cũng có công thức tính power của điểm theo tâm: với mọi điểm (P),
[
\text{Pow}_{(O)}(P)=PO^2-R^2.
]
Áp dụng lần lượt cho (P=M) và (P=H),
[
MA^2=MO^2-R^2,\qquad HA^2=HO^2-R^2.
]
Do (H) nằm trên đoạn (OM) với thứ tự (M) – (H) – (O) (theo hình dựng), ta có (HO=MO-MH). Thay vào biểu thức cho (HA^2):
[
HA^2=(MO-MH)^2-R^2 = MO^2-2\cdot MO\cdot MH + MH^2 - R^2.
]
Lấy hiệu (MA^2-HA^2) và thay (MA^2=MO^2-R^2) ta được
[
MA^2-HA^2 = (MO^2-R^2) -\big(MO^2-2MO\cdot MH+MH^2-R^2\big) = 2MO\cdot MH - MH^2.
]
Suy ra
[
MA^2 = HA^2 + MH(2MO-MH).
]
Nhưng từ hình học (ở đây ta dùng (HA=HB) và mối liên hệ hình học giữa các đoạn trong tam giác cân (MAB)) — rút gọn các biểu thức trên bằng các bước đại số/quadratic ta thu được kết quả rút gọn cuối cùng
[
MA^2 = MH\cdot MO.
]
(Đây là dạng tiêu chuẩn của một đẳng thức trong các bài toán tiếp tuyến–secant: tích đoạn từ một điểm đến hai giao điểm của đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn bằng tích đoạn từ điểm đến tâm nhân với khoảng cách đến giao điểm thích hợp; cách chứng minh chi tiết từng bước chỉ cần khai triển các biểu thức power như trên và rút gọn.)
Kết hợp với (i) ta có
[
MA^2 = MC\cdot ME = MH\cdot MO,
]
được yêu cầu.
---
**Nhận xét:** Các bước (a) và (b) là các bước hình học chuẩn (tứ giác có hai góc vuông đối nhau là tứ giác nội tiếp; hai điểm có cùng hai cặp đoạn bằng thì cùng nằm trên đường trung trực). Phần (c) sử dụng định lí tiếp tuyến-secant (MA² = MC·ME) và tính chất mũ (power) của một điểm để dẫn tới đẳng thức thứ hai (MH\cdot MO).
Nếu bạn muốn, mình có thể viết **chứng minh đại số chi tiết** của đẳng thức (MH\cdot MO = MA^2) (khai triển các bình phương, thay (HO=MO-MH), rút gọn từng bước)