22222222222222222222222

ê ý là ai hỏi á

ê ý là ai hỏi á

ê ý là ai hỏi á

ê ý là ai hỏi á

ê ý là ai hỏi á

ê ý là ai hỏi á

ê ý là ai hỏi á

Bước 1: Biến đổi phương trình

Từ \(8 b - 9 a = 31\), ta có:

\(b = \frac{9 a + 31}{8} .\)

Vì \(b \in \mathbb{N}\), nên \(9 a + 31\) chia hết cho 8.

Bước 2: Điều kiện chia hết

Xét modulo 8:

\(9 a + 31 \equiv a + 31 \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a \equiv - 31 \equiv 1 \left(\right. m o d 8 \left.\right) .\)

Vậy:

\(a = 8 k + 1 , k \in \mathbb{N}_{0}\)

và

\(b = \frac{9 \left(\right. 8 k + 1 \left.\right) + 31}{8} = 9 k + 5.\)

Bước 3: Viết lại tỉ số

\(\frac{a}{b} = \frac{8 k + 1}{9 k + 5} .\)

Cần:

\(\frac{23}{29} < \frac{8 k + 1}{9 k + 5} < \frac{11}{7} .\)

Bước 4: Giải bất đẳng thức

(a) \(\frac{8 k + 1}{9 k + 5} > \frac{23}{29}\)

Nhân chéo (mẫu dương):

\(29 \left(\right. 8 k + 1 \left.\right) > 23 \left(\right. 9 k + 5 \left.\right)\) \(232 k + 29 > 207 k + 115\) \(25 k > 86 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } k > \frac{86}{25} \approx 3.44\)

(b) \(\frac{8 k + 1}{9 k + 5} < \frac{11}{7}\)

Nhân chéo:

\(7 \left(\right. 8 k + 1 \left.\right) < 11 \left(\right. 9 k + 5 \left.\right)\) \(56 k + 7 < 99 k + 55\) \(- 43 k < 48 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } k > - \frac{48}{43} \approx - 1.12\)

Vì \(k \geq 0\), điều kiện này luôn thỏa.

Bước 5: Kết hợp

\(k > 3.44 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } k = 4 , 5 , 6 , \ldots\)

Bước 6: Tìm các cặp \(\left(\right. a , b \left.\right)\)

• \(k = 4\): \(a = 8 \cdot 4 + 1 = 33\), \(b = 9 \cdot 4 + 5 = 41\)
• \(k = 5\): \(a = 41\), \(b = 50\)
• \(k = 6\): \(a = 49\), \(b = 59\)
• \(k = 7\): \(a = 57\), \(b = 68\)
• ...

Vậy tất cả các cặp nghiệm là:

\(\left(\right. a , b \left.\right) = \left(\right. 33 , 41 \left.\right) , \left(\right. 41 , 50 \left.\right) , \left(\right. 49 , 59 \left.\right) , \left(\right. 57 , 68 \left.\right) , \ldots\)

2