a) Tứ giác ACKH có:

I là trung điểm của AK (gt)

I là trung điểm của HC (gt)

⇒ ACKH là hình bình hành

⇒ AC // HK

b) Do HM ⊥ AB (gt)

⇒ ∠AMH = 90⁰ (1)

Do HN ⊥ AC (gt)

⇒ ∠ANH = 90⁰ (2)

Do ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ ∠BAC = 90⁰

⇒ ∠MAN = 90⁰ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰

Tứ giác AMHN có:

∠MAN = ∠AMH = ∠ANH = 90⁰ (cmt)

⇒ AMHN là hình chữ nhật

⇒ AN = HM

Xét hai tam giác vuông: ∆ANH và ∆MHN có:

AN = HM (cmt)

HN là cạnh chung

⇒ ∆ANH = ∆MHN (hai cạnh góc vuông)

⇒ ∠HAN = ∠HMN (hai góc tương ứng)

⇒ ∠HAC = ∠HMN

⇒ ∠HAC = ∠KMN (4)

Do ACKH là hình bình hành (cmt)

⇒ ∠HAC = ∠HKC

⇒ ∠HAC = ∠MKC (5)

Từ (4) và (5) suy ra ∠KMN = ∠MKC

Do AC // KH (cmt)

⇒ NC // KM

Tứ giác MNCK có:

NC // KM (cmt)

⇒ MNCK là hình thang

Mà ∠KMN = ∠MKC (cmt)

⇒ MNCK là hình thang cân

c) Do O là giao điểm của MN và AH (gt)

AMHN là hình chữ nhật (cmt)

⇒ O là trung điểm của AH

∆AHC có:

I là trung điểm của HC (gt)

⇒ AI là đường trung tuyến của ∆AHC (6)

O là trung điểm của AH (cmt)

⇒ CO là đường trung tuyến của ∆AHC (7)

D là giao điểm của CO và AK (gt)

⇒ D là giao điểm của CO và AI (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra D là trọng tâm của ∆AHC

Do I là trung điểm của AK (gt)

⇒ AK = 2AI

Hay AK = 3AD

A B C H M N K I O D

a/

Ta có

HI=CI (gt); AI=KI (gt) => ACKH là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AC//HK (Trong hbh 2 cạnh đối // với nhau)

b/

Ta có

\(HM\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HM//AC

Mà HK//AC (cmt)

\(\Rightarrow HM\equiv HK\) (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho) => M; K; H thẳng hàng

=> AC//MK => MNCK là hình thang

Ta có

AC//MK => AN//MH

\(AB\perp AC\left(gt\right);HN\perp AC\left(gt\right)\) => AB//HN => AM//HN

=> AMHN là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là hình chữ nhật => AH=MN (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

Mà ACKH là hbh (cmt) => AH=CK (cạnh đối hbh)

=> MN=CK

=> hình thang MNCK có MN = CK => MNCK là hình thang cân

c/

Xét tg AHC có

OA=OH (Trong hình chữ nhật 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

HI=CI (gt)

=> D là trọng tâm của tg AHC \(\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}AI\)

Xét hình bình hành ACKH có

\(AI=KI\) (Trong hình bh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{1}{3}AK\Rightarrow AK=3AD\)

a: Xét tứ giác AHKC có

I là trung điểm chung của AK và HC

=>AHKC là hình bình hành

=>AC//HK

b: AC//HK

AC//HM

HK cắt HM tại H

=>H,M,K thẳng hàng

=>NC//MK

AHKC là hình bình hành

=>góc CKH=góc CAH

mà góc CAH=góc NMH(AMHN là hình chữ nhật)

nên góc CKM=góc NMK

=>CNMK là hình thang cân

c: AMHN là hình chữ nhật

=>O là trung điểm chung của AH và MN

Xét ΔCAH có

CO,AI là trung tuyến

CO cắt AI tại D

=>D là trọng tâm

=>AD=2/3AI=2/3*1/2*AK=1/3AK

=>AK=3AD

a: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC

HN//AB

Do đó: N là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC

HM//AC

Do đó: M là trung điểm của AB

Xét tứ giác AHBP có

M là trung điểm chung của AB và HP

=>AHBP là hình bình hành

Hình bình hành AHBP có AB\(\perp\)HP

nên AHBP là hình thoi

Để AHBP là hình vuông thì \(\widehat{HBP}=90^0\)

AHBP là hình thoi nên BA là phân giác của góc HBP

=>\(\widehat{HBA}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{HBP}=45^0\)

=>\(\widehat{ABC}=45^0\)