a)  n = 1 thì điều trên không đúng => đề bài sai

b) 5⁵ - 5⁴ + 5³ = 5³.(5² - 5 + 1) = 5³.21 chia hết cho 7 vì 21 chia hết cho 7

c) 8⁷ - 2¹⁴ = 8⁷ - (2³)⁴.4 = 8⁷ - 8⁴.4 = 8⁴. (8³ - 4) = 8⁴.508

Vì 508 không chia hết cho 7 nên 8⁴.508 không chia hết cho 14 => đề sai

nhìn thấy thì chóng mặt

chỉ cần làm 1 trong 8 câu là đủ rồi

a) 9.10ⁿ + 18 = 9(10ⁿ + 2) \(⋮\) 9

Mặt khác: 9(10ⁿ + 2) = 3.3(10ⁿ + 2)\(⋮\) 3

=> 9.10ⁿ + 18 \(⋮\) 9.3

=> 9.10ⁿ + 18 \(⋮\) 27.

b) 9²ⁿ + 14 = 81ⁿ + 14.

Vì 81ⁿ có chữ số tận cùng là 1 nên 81ⁿ + 14 có chữ số tận cùng là 5.

=> 81ⁿ + 14 \(⋮\) 5

=> 9²ⁿ + 14 \(⋮\) 5

a) Ta có:
\(A=2+2^2+2^3+...+2^{24}\)

\(\Rightarrow A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{22}+2^{23}+2^{24}\right)\)

\(\Rightarrow A=14+...+2^{21}.\left(2+2^2+2^3\right)\)

\(\Rightarrow A=14+...+2^{21}.14\)

\(\Rightarrow A=\left(1+...+2^{21}\right).14⋮14\)( đpcm )

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{24}\)

\(\Rightarrow A=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+...+\left(2^{21}+2^{22}+2^{23}+2^{24}\right)\)

\(\Rightarrow A=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{21}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

\(\Rightarrow A=2.15+...+2^{21}.15\)

\(\Rightarrow A=15\left(2+...+2^{21}\right)⋮15\left(đpcm\right)\)

b) Mk sửa đề chút là A chia 16 dư 15 nhé

Ta có:

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{24}\)

\(\Rightarrow A=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{20}+2^{21}+2^{22}+2^{23}+2^{24}\right)\)

\(\Rightarrow A=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{20}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(\Rightarrow A=2.31+...+2^{20}.31\)

\(\Rightarrow A=\left(2+2^{20}\right).31\) 

Vì 31 chia 16 dư 15 nên suy ra đpcm

Xét (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b) = a³ + b³ + 3ab.(a+b)

Tương tự ta có: (a+b+c)³ = [(a+b) + c]³ = (a+b)³ + c³ + 3(a+b).c.(a+b+c)

= a³ + b³ + 3ab.(a+b) + c³ + 3(a+b).c.(a+b+c)

=> a³ + b³  + c³ = (a+b+c)³ - 3ab(a+b) -  3(a+b).c.(a+b+c)  chia hết cho 6,vì:

a+ b+c chia hết cho 6 nên  (a+b+c)³ chia hết cho 6 và 3(a+b).c.(a+b+c)  chia hết cho 6

Tích ab(a+b)  luôn chia hêt 2 ( Vì nếu 1 trong 2 số a; b chẵn hay a;b cùng chẵn thì tích a.b chẵn; nếu a;b cùng lẻ thì a+ b chẵn)

=> 3ab(a+b)  luôn chia hết  cho 6

Vậy  a³ + b³  + c³ luôn chia hết cho 6

Xét hiệu : (a³ + b³ + c³) - (a + b + c) = a³ + b³ + c³ - a - b - c = (a³ - a) + (b³ - b) + (c³ - c) = a(a² - 1) + b(b² - 1) + c(c² - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1)

a(a - 1)(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 2 và 3 

Mà (2,3) = 1

=> a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6 

Tương tự b(b - 1)(b + 1) chia hết cho 6

c(c -1)(c + 1) chia hết cho 6

=>(a³ + b³ + c³) - (a + b + c) chia hết cho 6 

Mà a + b + c chia hết cho 6

=>a³ + b³ + c³ chia hết cho 6(đpcm)