1) \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

2) \(\frac{1}{xy}=\frac{1}{\left(\sqrt{xy}\right)^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{x+y}{2}\right)^2}=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)

bạn Diệu Linh ơi, bài này bảo chứng minh điều đó là đúng chứ không bảo điều đó là giả thiết nhé bạn, nhưng cũng cảm ơn bạn vì đã giúp mình =))

Bài 2: 

a: \(\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2-4xy=9^2-4\cdot14=81-56=25\)

=>x-y=5 hoặc x-y=-5

b: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=9^2-2\cdot14=81-28=53\)

c: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=9^3-3\cdot9\cdot14=351\)

\(\left(2x-3\right)^2-\left(x-1\right)^2=0\)

=>(2x-3-x+1)(2x-3+x-1)=0

=>(x-2)(3x-4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ 3x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ 3x=4\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac43\end{array}\right.\)

Bước 1: Xét các trường hợp nhỏ

Phương trình:

\(2^{x} - 3^{y} = 1 \Rightarrow 2^{x} = 3^{y} + 1\)

Cả hai số \(2^{x}\) và \(3^{y} + 1\) đều là số nguyên dương, vậy \(x \geq 1\), \(y \geq 0\).

Bước 2: Thử với các số nguyên nhỏ

1. y = 0:

\(2^{x} = 3^{0} + 1 = 1 + 1 = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 1\)

✅ Giải được: \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\)

1. y = 1:

\(2^{x} = 3^{1} + 1 = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 2\)

✅ Giải được: \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 , 1 \left.\right)\)

1. y = 2:

\(2^{x} = 3^{2} + 1 = 9 + 1 = 10 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \left(log ⁡\right)_{2} 10 \notin \mathbb{Z}\)

❌ Không có nghiệm nguyên

1. y = 3:

\(2^{x} = 3^{3} + 1 = 27 + 1 = 28 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \left(log ⁡\right)_{2} 28 \notin \mathbb{Z}\)

❌ Không có nghiệm nguyên

1. y = 4:

\(2^{x} = 3^{4} + 1 = 81 + 1 = 82 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \left(log ⁡\right)_{2} 82 \notin \mathbb{Z}\)

❌ Không có nghiệm nguyên

Bước 3: Kiểm tra tính khả thi tổng quát

• Khi \(y \geq 3\), \(3^{y} \equiv 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3^{y} + 1 \equiv 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)
• Các lũy thừa của 2: \(2^{x} m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\) lặp theo chu kỳ: 2, 4, 8, 7, 5, 1,…
• Xét \(2^{x} \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) hay \(2^{x} - 1 = 3^{y}\), theo định lý Catalan, nghiệm duy nhất cho phương trình lũy thừa cách nhau 1 là \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 3 , 2 \left.\right)\) cho phương trình \(3^{2} - 2^{3} = 1\), nhưng ở đây thứ tự khác nên chỉ có các nghiệm nhỏ đã tìm.

Do đó, không có nghiệm lớn hơn.

✅ Kết luận

Các nghiệm nguyên của phương trình \(2^{x} - 3^{y} = 1\) là:

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 , 1 \left.\right)}\)

\(\left(4x-1\right)^2+\left(x+3\right)^2=16x^2-8x+1+x^2+6x+9\)

\(=17x^2-2x+10\)

\(\left(x-y+1\right)^3=x^3-y^3+1-3x^2y+3xy^2+3x^2+3x+3y^2-3y-6xy\)

\(\left(4x-1\right)^2+\left(x+3\right)^2=16x^2-8x+1+x^2+6x+9\) \(=17x^2-2x+10\)

\(\left(x-y+1\right)^3=\left(x-y\right)^3+3\left(x-y\right)^2+3\left(x-y\right)+1\)

x.x-2.x-1-y.y

\(\) \(x^2-2x-1-y^2=(x^2-2x+1)-2+y^2=(x-1)^2+y^2-2=((x-1)-y)((x-1)+y)-2=(x-1-y)(x+1+y)+2\)

1:

Ta có: \(B=2x+xy^2-x^2y-2y\)

\(=\left(2x-2y\right)+\left(xy^2-x^2y\right)\)

\(=2\left(x-y\right)+xy\left(y-x\right)\)

\(=2\left(x-y\right)-xy\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(2-xy\right)\left(1\right)\)

Thay x=-1212 và y=-1313 vào biểu thức (1), ta được

\(=\left[-1212-\left(-1313\right)\right]\left[2-\left(-1212\right).\left(-1313\right)\right]=101\cdot\left(2-1591358\right)=-160726956\)

Vậy: giá trị của biểu thức \(B=2x+xy^2-x^2y-2y\) tại x=-1212 và y=-1313 là -160726956

2:

Ta có: \(C=xy-4y-5x+20\)

\(=\left(xy-4y\right)-\left(5x-20\right)\)

\(=y\left(x-4\right)-5\left(x-4\right)\)

\(=\left(x-4\right)\left(y-5\right)\left(2\right)\)

Thay x=14; y=5,5 vào biểu thức (2) , ta được

\(\left(14-4\right)\left(5,5-5\right)=10\cdot0.5=5\)

Vậy: Giá trị của biểu thức \(C=xy-4y-5x+20\) tại x=14 và y=5,5 là 5