Lời giải:

Từ $A$ kẻ $AA'$ song song với trục $OO'$ ( $A'$ nằm trên đáy có tâm $O'$)

Khi đó \(AA'=OO'=a\sqrt{3}\) và \(AA'\) vuông góc với hai đáy.

\(AA'\parallel OO'\Rightarrow OO'\parallel (AA'B)\)

\(\Rightarrow d(OO', AB)=d(OO', (AA'B))=d(O', (AA'B))\)

Kẻ \(O'H\perp A'B\)

\(\left\{\begin{matrix} O'H\subset (\text{ đáy})\rightarrow O'H\perp AA'\\ O'H\perp A'B \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O'H\perp (AA'B)\)

\(\Rightarrow O'H=d(O', (AA'B))=d(OO', AB)\)

-------------------------------------------

Do \(OO'\parallel AA'\) nên:

\((OO', AB)=30^0\Rightarrow (AA', AB)=30^0\Leftrightarrow \angle BAA'=30^0\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}=\tan BAA'=\frac{BA'}{AA}=\frac{BA'}{a\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow BA'=a\Rightarrow BH=\frac{a}{2}\)

\(O'H=\sqrt{O'B^2-BH^2}=\sqrt{r^2-BH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

\(\Leftrightarrow d(AB,OO')=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

Đáp án B

\(B'D'//BD\Rightarrow\widehat{\left(B'D';AC\right)}=\widehat{\left(BD;AC\right)}\)

\(tan\widehat{ADB}=\frac{AB}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ADB}=60^0\Rightarrow\left(\widehat{BD;AC}\right)=180^0-2.60^0=60^0\)

cám ơn ạ

câu 5 ấy chắc thầy tui buồn ngủ nên quánh lộn chữ sai thành đúng r

12.

\(R=d\left(I;Oxz\right)=\left|y_I\right|=3\)

Phương trình:

\(x^2+\left(y+3\right)^2+z^2=9\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+6y=0\)

13.

\(R=d\left(M;\alpha\right)=\frac{\left|1-1+2.2-3\right|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\)

Pt mặt cầu:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+2\right)^2=\frac{1}{6}\)

14.

\(R=d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1-4-2-2\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3\)

Phương trình:

\(\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z-3=0\)

ChọnB

Hướng giải quyết (làm biếng tính toán kiểu này :D):

- Nhận thấy ngay rằng B, C, D thẳng hàng nên A, B, C, D đồng phẳng

\(\Rightarrow\) khoảng cách từ O đến (ABC) và khoảng cách từ O đến (ACD) bằng nhau

\(\Rightarrow\) diện tích tam giác ABC = diện tích tam giác ACD

Mà hai tam giác này chung cạnh đáy AC

\(\Rightarrow\) khoảng cách từ B đến AC bằng khoảng cách từ D đến AC

\(\Rightarrow\) C là trung điểm của BD

Đến đây thì chắc là đơn giản lắm rồi

Okay, mình tính ra rồi, cảm ơn bạn. Có gì gợi ý giúp mình câu này luôn nhé.

\(2^x=x^2\Rightarrow xln2=2lnx\Rightarrow\frac{ln2}{2}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow x=2\)

Ta cũng có \(\frac{2ln2}{2.2}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow\frac{ln4}{4}=\frac{lnx}{x}\Rightarrow x=4\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\)

Pt dưới: \(4logx-\frac{logx}{loge}=log4\)

\(\Leftrightarrow logx\left(4-ln10\right)=log4\Leftrightarrow logx\left(ln\left(\frac{e^4}{10}\right)\right)=log4\)

\(\Rightarrow logx=\frac{log4}{ln\left(\frac{e^4}{10}\right)}=log4.log_{\frac{e^4}{10}}e\)

\(\Rightarrow x=10^{log4.log_{\frac{e^4}{10}}e}=\left(10^{log4}\right)^{log_{\frac{e^4}{10}}e}=2^{2.log_{\frac{e^4}{10}}e}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\d=4\end{matrix}\right.\)

Bạn tự thay kết quả và tính

Em cảm ơn nhiều ạ. ❤️

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\left(-2;2;1\right)\) và đi qua \(M\left(3;6;1\right)\)

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\left(-4;-2;5\right)\) và đi qua \(\overrightarrow{AM}\left(-1;4;-1\right)\)

Ta có \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right]=\left(12;6;12\right)\Rightarrow\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{AM}=-12+24-12=0\)

Vậy ta có AB và d đồng phẳng.

\(C\in d\Rightarrow C\left(3-2t;6+2t;1+t\right)\)

Tam giác ABC cân tại A \(\Leftrightarrow AB=AC\)

                                    \(\Leftrightarrow\left(1+2t\right)^2+\left(4+2t\right)^2+\left(1-t\right)^2=45\)

                                    \(\Leftrightarrow9t^2-18t-27=0\)

                                   \(\Leftrightarrow t=1\) hoặc \(t=-3\)

Vậy \(C\left(1;8;2\right)\) hoặc \(C\left(9;0;-2\right)\)

Câu 1: Là \(ln^2x+lnx\) hay \(lnx^2+lnx\) bạn, hai cái này khác nhau lắm, viết thế kia chẳng hiểu gì cả. Biểu thức logarit nếu viết mũ, thì hoặc là viết thế này \(ln^2x\) hoặc là \(\left(lnx\right)^2\), nếu viết \(ln\left(x\right)^2\) người ta sẽ mặc định hiểu là \(ln\left(x^2\right)\)

Chắc là cái đầu, vậy ta biến đổi được:

\(lnx\left(lnx+1\right)=lnx\left(lnx+lne\right)=lnx.ln\left(x.e\right)=ln\left(x.e\right)^{lnx}\)

Câu 2: đạo hàm 4 cái ra, dễ dàng nhận ra ở đáp án d, với \(x\ge0\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2+4x+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\) luôn đồng biến nên hàm không có cực trị

Câu 3:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{m-x}{x+1}=2x+m\Leftrightarrow m-x=2x^2+\left(m+2\right)x+m\)

\(\Leftrightarrow2x^2+\left(m+3\right)x=0\)

Phương trình luôn có nghiệm \(x=0\) hay ít nhất 1 trong 2 điểm A; B sẽ trùng gốc tọa độ tức \(OA=0\) hoặc \(OB=0\)

Do đó ko tồn tại m thỏa mãn

Câu 4:

\(\left\{{}\begin{matrix}lnx=X\\lny=Y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2X^2+3Y^2=5\\X+4Y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(3-4Y\right)^2+3Y^2=5\)

\(\Leftrightarrow35Y^2-48Y+13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}Y=1\Rightarrow X=-1\\Y=\frac{13}{35}\Rightarrow X=\frac{53}{35}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}lnx=-1\\lny=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(e^{-1};e\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-1\\d=1\end{matrix}\right.\)

Hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}lnx=\frac{53}{35}\\lny=\frac{13}{35}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=e^{\frac{53}{35}}=e\sqrt[35]{e^{18}}\\y=e^{\frac{13}{35}}=\sqrt[35]{e^{13}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=35\)

Đáp án b sai

Bài 2: Mình nghĩ điều kiện sửa thành $a,b\in\mathbb{N}$ thôi thì đúng hơn.
ĐKĐB $\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]^{y+2}=8-(2x-2)(y+2)$

$\Leftrightarrow (y+2)\log_2[(2x+1)(y+2)]=8-(2x-2)(y+2)$

$\Leftrightarrow (y+2)[\log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=8$

$\Leftrightarrow \log_2[(2x+1)(y+2)]+(2x-2)]=\frac{8}{y+2}$

$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+\log_2(y+2)+(2x+1)-3=\frac{8}{y+2}$
$\Leftrightarrow \log_2(2x+1)+(2x+1)=\frac{8}{y+2}+3-\log_2(y+2)=\frac{8}{y+2}+\log_2(\frac{8}{y+2})(*)$

Xét hàm $f(t)=\log_2t+t$ với $t>0$

$f'(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ với mọi $t>0$

Do đó hàm số đồng biến trên TXĐ
$\Rightarrow (*)$ xảy ra khi mà $2x+1=\frac{8}{y+2}$

$\Leftrightarrow 8=(2x+1)(y+2)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$8=(2x+1)(y+2)\leq \left(\frac{2x+1+y+2}{2}\right)^2$

$\Rightarrow 2\sqrt{2}\leq \frac{2x+y+3}{2}$

$\Rightarrow 2x+y\geq 4\sqrt{2}-3$

Vậy $P_{\min}=4\sqrt{2}-3$

$\Rightarrow a=4; b=2; c=-3$

$\Rightarrow a+b+c=3$

Đáp án B.

2.

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=8-\left(2x-2\right)\left(y+2\right)\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+log_2\left(y+2\right)=\frac{8}{y+2}-2x+2\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=-log_2\left(y+2\right)+3+\frac{8}{y+2}\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)=log_2\left(\frac{8}{y+2}\right)+\frac{8}{y+2}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_2t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{1}{t.ln2}+1>0;\forall t>0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow2x+1=\frac{8}{y+2}\)

\(\Rightarrow2x=\frac{8}{y+2}-1=\frac{6-y}{y+2}\)

\(\Rightarrow P=2x+y=y+\frac{6-y}{y+2}=y+\frac{8}{y+2}-1\)

\(\Rightarrow P=y+2+\frac{8}{y+2}-3\ge2\sqrt{\frac{8\left(y+2\right)}{y+2}}-3=4\sqrt{2}-3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b+c=3\)