a: (d) có hệ số góc là k nên (d): y=kx+b

Thay x=0 và y=-1 vào (d), ta được \(k\cdot0+b=-1\)

=>b=-1

=>(d): y=kx-1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=kx-1\)

=>\(x^2+kx-1=0\)

a=1; b=k; c=-1

Vì \(a\cdot c=1\cdot\left(-1\right)=-1<0\)

nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-k\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-1\end{cases}\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

\(=\left(-k\right)^2-4\cdot\left(-1\right)=k^2+4\ge4\forall k\)

=>\(\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt4=2\)

a. Viết phương trình đường thẳng d và chứng minh d luôn cắt P tại 2 điểm phân biệt

Vì \(d\) có hệ số góc \(k\) và đi qua \(M \left(\right. 0 , - 1 \left.\right)\), nên phương trình của \(d\) là:

\(y = k x - 1\)

Tìm giao điểm của \(d\) và \(P\):

\(- x^{2} = k x - 1\)

Chuyển vế:

\(x^{2} + k x - 1 = 0\)

Phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm:

\(x_{1} , x_{2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 4}}{2}\)

Vì \(k^{2} + 4 > 0\) với mọi giá trị của \(k\), nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt,
⇒ \(d\) luôn cắt parabol tại 2 điểm phân biệt \(A , B\).

✅ Kết luận: \(d\) luôn cắt \(P\) tại 2 điểm phân biệt \(A , B\).

b. Gọi hoành độ của A, B lần lượt là x₁, x₂. Chứng minh |x₁ − x₂| ≥ 2

Từ trên, ta có:

\(x_{1} , x_{2} = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} + 4}}{2}\)

Suy ra:

\(x_{1} - x_{2} = \frac{\left(\right. - k + \sqrt{k^{2} + 4} \left.\right) - \left(\right. - k - \sqrt{k^{2} + 4} \left.\right)}{2} = \sqrt{k^{2} + 4}\)

Do đó:

\(\mid x_{1} - x_{2} \mid = \sqrt{k^{2} + 4} \geq \sqrt{0 + 4} = 2\)

✅ Kết luận: \(\mid x_{1} - x_{2} \mid \geq 2\) với mọi giá trị của \(k\).

c. Chứng minh tam giác AOB vuông

Ta có:

• Gốc tọa độ \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• \(A \left(\right. x_{1} , - x_{1}^{2} \left.\right)\)
• \(B \left(\right. x_{2} , - x_{2}^{2} \left.\right)\)

Phương trình parabol đối xứng qua trục \(O y\), nên:

\(x_{1} + x_{2} = - k (\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{h}ệ\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{b}ậ\text{c}\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{PT}\&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m})\)\(x_{1} x_{2} = - 1\)

Tọa độ:

\(A \left(\right. x_{1} , - x_{1}^{2} \left.\right) , B \left(\right. x_{2} , - x_{2}^{2} \left.\right)\)

Ta cần chứng minh \(\triangle A O B\) vuông.

Xét các vectơ:

\(\overset{\rightarrow}{O A} = \left(\right. x_{1} , - x_{1}^{2} \left.\right) , \overset{\rightarrow}{O B} = \left(\right. x_{2} , - x_{2}^{2} \left.\right)\)

Tích vô hướng:

\(\overset{\rightarrow}{O A} \cdot \overset{\rightarrow}{O B} = x_{1} x_{2} + \left(\right. - x_{1}^{2} \left.\right) \left(\right. - x_{2}^{2} \left.\right) = x_{1} x_{2} + x_{1}^{2} x_{2}^{2}\)\(= x_{1} x_{2} \left(\right. 1 + x_{1} x_{2} \left.\right)\)

Do \(x_{1} x_{2} = - 1\), ta có:

\(\overset{\rightarrow}{O A} \cdot \overset{\rightarrow}{O B} = \left(\right. - 1 \left.\right) \left(\right. 1 - 1 \left.\right) = 0\)

⇒ Hai vectơ vuông góc.

✅ Kết luận: Tam giác \(A O B\) vuông tại O.

🎯 Tóm tắt kết quả:

a. \(d : y = k x - 1\), luôn cắt \(P\) tại 2 điểm phân biệt \(A , B\)
b. \(\mid x_{1} - x_{2} \mid = \sqrt{k^{2} + 4} \geq 2\)
c. Tam giác \(A O B\) vuông tại \(O\)