tìm 3 chữ số tận cùng của số 2^9^2003

Để tìm 3 chữ số tận cùng của số \(2^{9^{2003}}\), chúng ta cần tính \(2^{9^{2003}} m o d \textrm{ } \textrm{ } 1000\). Điều này tương đương với việc tìm số dư của \(2^{9^{2003}}\) khi chia cho 1000.

Ta có \(1000 = 2^{3} \cdot 5^{3} = 8 \cdot 125\). Vì \(2^{9^{2003}}\) chia hết cho 8 (do \(9^{2003} \geq 3\)), chúng ta có thể viết \(2^{9^{2003}} = 8 k\) với \(k\) là một số nguyên.

Tiếp theo, chúng ta cần tìm \(2^{9^{2003}} m o d \textrm{ } \textrm{ } 125\). Ta có \(\phi \left(\right. 125 \left.\right) = 125 \cdot \left(\right. 1 - \frac{1}{5} \left.\right) = 125 \cdot \frac{4}{5} = 100\). Theo định lý Euler, \(2^{100} \equiv 1 \left(\right. m o d 125 \left.\right)\).

Do đó, chúng ta cần tìm \(9^{2003} m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\). Ta có \(100 = 4 \cdot 25\).
\(9 \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\), nên \(9^{2003} \equiv 1^{2003} \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\).
\(\phi \left(\right. 25 \left.\right) = 25 \cdot \left(\right. 1 - \frac{1}{5} \left.\right) = 20\). Vậy \(9^{20} \equiv 1 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\).
\(2003 = 20 \cdot 100 + 3\), nên \(9^{2003} = \left(\right. 9^{20} \left.\right)^{100} \cdot 9^{3} \equiv 1^{100} \cdot 9^{3} \equiv 9^{3} \left(\right. m o d 25 \left.\right)\).
\(9^{3} = 729\). \(729 = 25 \cdot 29 + 4\), nên \(9^{3} \equiv 4 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\).

Vậy, \(9^{2003} \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\) và \(9^{2003} \equiv 4 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\).
Chúng ta cần tìm một số \(x\) sao cho \(x \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\) và \(x \equiv 4 \left(\right. m o d 25 \left.\right)\).
\(x = 4 + 25 k \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\).
\(4 + 25 k \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
\(25 k \equiv - 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
\(k \equiv - 3 \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\). Vậy \(k = 1\).
\(x = 4 + 25 \left(\right. 1 \left.\right) = 29\).
Vậy, \(9^{2003} \equiv 29 \left(\right. m o d 100 \left.\right)\).

Do đó, \(9^{2003} = 100 m + 29\) với \(m\) là một số nguyên.
Vậy, \(2^{9^{2003}} = 2^{100 m + 29} = \left(\right. 2^{100} \left.\right)^{m} \cdot 2^{29} \equiv 1^{m} \cdot 2^{29} \equiv 2^{29} \left(\right. m o d 125 \left.\right)\).

\(2^{29} = 2^{9} \cdot 2^{20} = 512 \cdot \left(\right. 2^{10} \left.\right)^{2} = 512 \cdot \left(\right. 1024 \left.\right)^{2} \equiv 512 \cdot \left(\right. 24 \left.\right)^{2} \equiv 512 \cdot 576 \equiv 512 \cdot 76 \equiv 38912 \left(\right. m o d 125 \left.\right)\).
\(38912 = 125 \cdot 311 + 37\), nên \(2^{29} \equiv 37 \left(\right. m o d 125 \left.\right)\).

Chúng ta cần tìm một số \(y\) sao cho \(y \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\) và \(y \equiv 37 \left(\right. m o d 125 \left.\right)\).
\(y = 37 + 125 n \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\)
\(37 + 125 n \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\)
\(5 + 5 n \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\)
\(5 n \equiv - 5 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\)
\(n \equiv - 1 \equiv 7 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\). Vậy \(n = 7\).
\(y = 37 + 125 \left(\right. 7 \left.\right) = 37 + 875 = 912\).

Vậy, \(2^{9^{2003}} \equiv 912 \left(\right. m o d 1000 \left.\right)\).

Ba chữ số tận cùng của \(2^{9^{2003}}\) là 912.