phân tích đa thức \(\text{xy(a^2+2b^2)-ab(2x^2-y^2)}\)thành nhân tử (\(\text{phối hợp}\)) 

Mong các bạn giúp đỡ. Cảm ơn các bạn rất nhiều ạ 

Còn bài hôm trước mình hỏi có hơi dài thì mong các bạn bỏ qua cho mình với ạ. Có 1 bạn hôm trước mình hỏi mà bạn đã ko giúp mình mà còn quay sang chửi mình, bạn lấy cái tư cách gì mà chửi mình, chẳng lẽ ở lớp bạn trốn tiết Giáo Dục Công Dân à. Còn có 1 bài mình hỏi cũng có 1 bạn đã ghi cái lin tinh, mất dạy vô văn hóa vào bài mình, cho mình hỏi nè bộ các bạn rảnh quá hay gì mà ghi dăm ba cái tầm bạy tầm bạ vào đấy hả, các bạn khác cũng vào đấy trả lời nhưng mình cũng có thấy ai vô duyên như bạn đâu. Bạn lầm được thì mình cảm ơn chứ vào đấy viết linh tinh thì thôi bạn nhé. Mìn chỉ bảo thế thôi các bạn đừng nghĩ nhiều, mình chỉ là nghĩ thế nào thì viết nấy thôi. Mình viết hơi dài mong các bạn thông cảm ạ

Bài toán. Cho \(x,y,z>0,x+y+z\le k\). Chứng minh:

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)

Nói chung, cách chứng minh bài này không có gì khó, thậm chí có thể nói là rất dễ. Vì:;

\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\left(2m\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\ge\frac{\left(1+2m\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\)

Vậy, vấn đề ở đây không phải là lời giải, mà là dấu đẳng thức.

Quan sát một chút ta thấy x, y, z là đối xứng nhau và điều kiện là \(x+y+z=1\).

Nên ta đoán \(\hept{\begin{cases}x=y=t\\x+y+z=k\end{cases}}\Rightarrow z=k-2t\left(0\le t\le\frac{k}{2}\right)\)   (*)

Ta xét: \(P\left(x,y,z\right)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2m^2}{xy+yz+zx}\)

Chọn t sao cho \(P\left(t,t,k-2t\right)=\frac{\left(1+2m\right)^2}{k^2}\) 

Quy đồng lên và phân tích thành nhân tử, nó tương đương với: \(k^2m-4kmt+6mt^2-2kt+3t^2=0\)

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, dễ có: \(t_1=\frac{k\left(1+2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)},t_2=\frac{k\left(-1-2m+\sqrt{-2m^2+m+1}\right)}{3\left(1+2m\right)}\)

Cần chú ý rằng, tùy vào tham số k, m ở từng bài mà \(-2m^2+m+1,t_1,t_2\) có thể âm hoặc dương nên sau đó ta cần..(Không biết nói  sao cho hay hết! Các bạn tự hiểu nha :D)

Với \(m=\frac{1}{\sqrt{2}}\)ta được bài https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html

Lưu ý. Không phải lúc nào ta cũng may mắn có được như (*), có khi các biến hoàn toàn đối xứng nhưng đẳng thức lại xảy ra hoàn toàn lệch nhau! Chính vì vậy, bài trên dù dấu đẳng thức xấu nhưng ta vẫn "còn may".

Nếu không việc tìm dấu đẳng thức còn mệt hơn nhiều :D

Đố :

Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép chia dưới đây những phân thức có tử thức bằng mẫu thức cộng với 1 :

\(\dfrac{x}{x+1}:\dfrac{x+2}{x+1}:\dfrac{x+3}{x+2}:...........=\dfrac{x}{x+6}\)

Em hãy ra cho bạn một câu đố tương tự, với vế phải của đẳng thức là \(\dfrac{x}{x+n}\) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 tùy ý mà em thích ?

(https://olm.vn/thanhvien/minhnguyenvn). Chẳng coi ta ra gì rồi lôi chuyện cũ quăng vào mặt ta các ngươi ạ!Ta coi nó là bạn thân nhất trong đám BFF của ta mà nó coi ta như cống rãnh vậy đó . Đã trẩu rồi còn thích sĩ diện. Mồm miệng mở ra nói mình vụng về ngon lắm mà tại sao ta chê nó trẩu nó tự ái vậy? Ngang nhờ :),ta phốt thì bảo ta chẳng chửi được nó, ủa vậy KHÔNG THÈM CHẤP cũng là không cãi được hả bạn :). Ta tưởng chỉ có 1 đứa ở lớp ta là sĩ diện thôi, chẳng ngờ còn gặp cái loại như bạn còn sĩ diện hơn bà hoàng đó ạ. Mặt nặng chẳng coi ai ra gì thì chơi với tó nha bạn :), mà tó nó cũng chẳng thèm nhận cái loại như bạn làm bạn của nó đâu nhé. Tó nõ cũng phải bật cười khi 1 người sống chẳng bằng nó nha bạn :)