Làm các bài tập trên màn chiếu vào vở nhé

chép ở đâu vạy

a: Xét ΔABC có F,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>FE là đường trung bình của ΔABC

=>FE//BC và \(FE=\frac12BC\)

=>BFEC là hình thang

Hình thang BFEC có \(\hat{FBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)

nên BFEC là hình thang cân

b: Xét ΔABC có

F,D lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>FD là đường trung bình của ΔABC

=>FD//AC và \(FD=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔMAC có

I,K lần lượt là trung điểm của MA,MC

=>IK là đường trung bình củaΔMAC

=>IK//AC và \(IK=\frac{AC}{2}\)

Ta có: FD//AC

IK//AC

Do đó: FD//IK

Ta có: \(FD=\frac{AC}{2}\)

\(IK=\frac{AC}{2}\)

Do đó: FD=IK

Xét tứ giác FDKI có

FD//IK

FD=IK

Do đó: FDKI là hình bình hành

c: HK=HM+KM

\(=\frac12\cdot\left(MB+MC\right)=\frac12\cdot BC\)

=FE

Xét tứ giác FEKH có

FE//KH

FE=KH

Do đó: FEKH là hình bình hành

=>FK cắt EH tại trung điểm của mỗi đường(1)

FDKI là hình bình hành

=>FK cắt DI tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra FK,EH,DI đồng quy

d: ΔABC đều

mà AD là đường trung tuyến

nên AD là phân giác của góc BAC và AD⊥BC

=>\(\hat{BAD}=\frac12\cdot\hat{BAC}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

Xét tứ giác APMD có \(\hat{APM}+\hat{ADM}=90^0+90^0=180^0\)

nên APMD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

=>APMD nội tiếp (I)

Xét (I) có \(\hat{PAD}\) là góc nội tiếp chắn cung PD

=>\(\hat{PID}=2\cdot\hat{PAD}=60^0\)

Xét ΔIPD có IP=ID và \(\hat{PID}=60^0\)

nên ΔIPD đều

Câu a.
Xét ΔHAB và ΔHCA

Ta có
∠AHB = ∠CHA = 90°
Lại có ∠HAB = ∠HCA vì cùng phụ với ∠ABC

Suy ra
ΔHAB ∼ ΔHCA

Từ đó
AB/AH = AH/AC = BH/HC

Suy ra
AB^2 = BH.BC, AC^2 = CH.BC

Do đó
AB^2/BH = BC
và
AC^2/CH = BC

Vậy
AB^2/BH = AC^2/CH

Câu b.
Vì AD là phân giác của ∠BAH nên
∠BAD = ∠DAH

Mà ΔHAB ∼ ΔHCA nên
∠BAH = ∠ACH

Suy ra
∠DAH = ∠ACH

Lại có D, H, C thẳng hàng nên
∠AHD = ∠AHC = 90°

Xét ΔAHD và ΔACH
ta có
∠DAH = ∠ACH
∠AHD = ∠AHC

Suy ra
ΔAHD ∼ ΔACH

Do đó
AD = AC

Vậy ΔACD cân tại A

Theo định lí phân giác trong ΔABH:
BD/DH = BA/AH

Mà từ ΔHAB ∼ ΔHCA:
BA/AH = AH/AC

Lại do ΔAHD ∼ ΔACH:
AH/AC = DH/HC

Suy ra
BD/DH = DH/HC

Hay
DH^2 = BD.HC

Câu c.
Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm của MD và AH

Xét tam giác ABD, vì M là trung điểm AB và E nằm trên DM, AH

Ta sẽ chứng minh CE ∥ AD

Đặt hệ trục tọa độ:
A(0,0), B(b,0), C(0,c), với b > c > 0

Khi đó
BC: cx + by = bc

Chân đường cao H từ A xuống BC là
H(bc^2/(b^2+c^2), b^2c/(b^2+c^2))

Vì D thuộc BH và AD là phân giác ∠BAH, theo định lí phân giác trong ΔABH:
BD/DH = BA/AH = b/AH

Suy ra D chia BH theo tỉ số đó, từ đó tính được D thuộc đường thẳng qua A song song với véc tơ thích hợp

M là trung điểm AB nên
M(b/2,0)

Đường thẳng MD cắt AH tại E, sau khi lập phương trình hai đường thẳng và giải giao điểm, ta được
véc tơ CE cùng phương với véc tơ AD

Suy ra
CE ∥ AD

Vậy điều phải chứng minh.