Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(x+y-z\right)^2\ge0\)
=> \(x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)
=> \(x^2+y^2+z^2\ge2xy-2xz+2yz\)
=[(x+y)+z]2
=(x+y)2+2(x+y)z+z2
=x2+2xy+y2+2xz+2yz+z2
=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz
a) \(x^2+xy+y^2+1\)
\(=x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}+y^2+1\)
\(=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0,\forall x;y\\\dfrac{3y^2}{4}\ge0,\forall x;y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0,\forall x;y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
b) \(...=x^2-2x+1+4\left(y^2+2y+1\right)+z^2-6z+9+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+4\left(y^{ }+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0,\forall x.y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)
Bạn tự c/m BĐT : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu " = " xảy ra ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2yz+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\)\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{1}=9\)
Bạn tự giải dấu bằng nhé.
giúp mình vớiiiiiiiii
minhhhhhhhhhhhhhhhh
\(\left(x-y-z\right)^2\)
\(=\left\lbrack x-\left(y+z\right)\right\rbrack^2\)
\(=x^2-2x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\)
\(=x^2-2xy-2xz+y^2+z^2+2yz\)
\(=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\)
Chứng minh hằng đẳng thức (x−y−z)2=x2+y2+z2−2xy+2yz−2zx
Chúng ta có thể chứng minh hằng đẳng thức này bằng cách khai triển vế trái hoặc sử dụng các hằng đẳng thức đã biết. Dưới đây là hai cách chứng minh.
Cách 1: Khai triển trực tiếp
Chúng ta sẽ khai triển vế trái của phương trình: (x−y−z)2.
Theo hằng đẳng thức (a+b)2=a2+2ab+b2, ta có thể nhóm lại các số hạng như sau: (x−y−z)2=[x−(y+z)]2
Bây giờ, áp dụng hằng đẳng thức (a−b)2=a2−2ab+b2 với a=x và b=(y+z): [x−(y+z)]2=x2−2x(y+z)+(y+z)2
Tiếp tục khai triển (y+z)2 và phân phối −2x: =x2−(2xy+2xz)+(y2+2yz+z2)
Bỏ dấu ngoặc: =x2−2xy−2xz+y2+2yz+z2
Sắp xếp lại các số hạng để trùng với vế phải: =x2+y2+z2−2xy+2yz−2xz
Vậy, ta có (x−y−z)2=x2+y2+z2−2xy+2yz−2zx, điều phải chứng minh.
Cách 2: Biến đổi từ hằng đẳng thức quen thuộc
Chúng ta biết hằng đẳng thức (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
Để áp dụng hằng đẳng thức này, ta có thể viết lại vế trái của phương trình như sau: (x−y−z)2=[x+(−y)+(−z)]2
Bây giờ, ta áp dụng hằng đẳng thức (a+b+c)2 với a=x, b=−y, và c=−z: =(x)2+(−y)2+(−z)2+2(x)(−y)+2(−y)(−z)+2(−z)(x)
Tính toán các tích: =x2+y2+z2−2xy+2yz−2zx
Vậy, ta có (x−y−z)2=x2+y2+z2−2xy+2yz−2zx.